Come tracciare il diagramma di Bode di un circuito RC (dalla teoria alla pratica)

Testo

Sia dato un circuito RC con resistenza pari a \(1k \Omega\) e una capacità pari a \(5 \mu F\). Si scelga un generatore ad ampiezza pari a 2V e oscillazione 5Hz. considerando la tensione di output \(V_{out}\) quella sul condensatore si determini:

• l’ampiezza della tensione di output (al condensatore);
• la frequenza di taglio del sistema;
• l’ampiezza dell’output a seguito di una perdita di 3dB di ampiezza;
• per quale frequenza viene dimezzata l’ampiezza dell’input.

Soluzione

Il circuito RC

descritto dal testo del problema è rappresentato in figura seguente.

Si sa che, per la legge alle maglie di Kirchhoff, tutte le tensioni sommate devono fare zero. Perciò in un circuito RC vale che:

\(V_{in}+V_R+V_C=0\)

Ovvero:

\(V_{in}=-V_R-V_C=-V_R- \frac{1}{C} \int_{0}^{t}{i(t)dt}\)

Ricordando che, per la trasformata di Laplace, l’integrale è soggetto alla regola:

\( \mathcal{L} [ \int_{0}^{t}{f (t) dt]=\frac{1}{s} \cdot F(s)}\)

Allora, nel dominio di Laplace, diventa:

\(V_{in}(s)=-V_R(s)-\frac{1}{sC}I(s)\)

\(V_{in}(s)=-RI(s)-\frac{1}{sC}I(s)\)

\(V_{in}(s)=(-1-\frac{1}{sRC})RI(s)\)

\(\frac{V_R(S)}{V_{in}(s)}=-\frac{sRC}{sRC+1}\)

Quindi dato che:

\(V_{in}(s)=-V_R(s)-V_C(s)\)

Si ha che:

\(\frac{-V_{in}(s)-V_C(s)}{V_{in}(s)}=-\frac{sRC}{sRC+1}\)

Quindi:

\(-1-\frac{V_C(s)}{v_{in}(s)}=-\frac{sRC}{sRC+1}\)

\(\frac{V_c(s)}{V_{in}(s)}=\frac{sRC}{sRC+1}-1\)

\(\frac{V_c(s)}{V_{in}(s)}=\frac{sRC-sRC-1}{sRC+1}\)

\(\frac{V_c(s)}{V_{in}(s)}=-\frac{1}{1+sRC}\)

Questo significa che a seconda di dove guardiamo il sistema la risposta è diversa. Se supponiamo che \(V_{out}(s)=V_c(s)\):

\(\frac{V_{out}(s)}{V_{in}(s)}=-\frac{1}{1+sRC}\)

In realtà, se si attribuisce il segno algebrico direttamente a \(V_{out}(s)\) si può direttamente considerare:

\(\frac{V_{out}(s)}{V_{in}(s)}=\frac{1}{1+sRC}\)

Che è una funzione di trasferimento con un polo pari a \(s=-\frac{1}{RC}\).

Quando si analizza la risposta dei circuiti elettrici in frequenza si impone sempre che \(s=j \omega\) in cui \( \omega\) è la frequenza della sinusoide in ingresso al sistema.

Quindi:

\(\frac{V_{out}(s)}{V_{in}(s)}=\frac{1}{1+j \omega RC}\)

In questa funzione di trasferimento si dice che la frequenza di taglio (corrispondente al polo) è pari a (in Herz):

\(f_c=\frac{\omega_c}{2\pi}=\frac{1}{2\pi RC}\)

Come da teoria dei sistemi, si sa che la frequenza della tensione in input, quando il suo modulo supera i 3dB di crollo circa, ha oltrepassato proprio la frequenza di taglio appena mostrata. Volendola calcolare per questo caso specifico si ottiene:

\(f_c=\frac{1}{2\pi RC}=\)

\(\frac{1}{2 \pi \cdot 10^3 \Omega \cdot 5 \cdot 10^{-6}F}=\)

\(\frac{1}{ \pi} \cdot 10^2 Hz \approx 0.3183 \cdot 10^1Hz=31.83Hz\)

Per confermare i calcoli è possibile lanciare una simulazione tramite l’utilizzo di LTSpice è il risultato è il seguente:

Come si può notare, posizionando il cursore vicino a un decadimento di ampiezza di circa 3dB, la frequenza è circa uguale a quella calcolata algebricamente. La frequenza di taglio risulta quindi correttamente stimata. In generale la frequenza di taglio è un parametro di definizione delle proprietà dei filtri elettrici passa basso e passa alto. Spesso è anche definita come la frequenza alla quale il rapporto fra l’ampiezza del segnale di uscita e quello di ingresso vale \(\frac{1}{\sqrt{2}}\), ovvero circa \(0,707\).

Alla frequenza di taglio si ha quindi quella frequenza per cui è vero che:

\(\frac{V_{out}(s)}{V_{in}(s)}=\frac{1}{\sqrt{2}}\)

Ogni volta che si valuta il modulo di tale rapporto nei diagrammi di Bode si considera il valore in decibel. Il decibel, per il rapporto, è definito come segue:

\([\frac{V_{out}(s)}{V_{in}(s)}]_{dB}=20 \log_{10} (\frac{V_{out}}{V_{in}})dB\)

\([\frac{V_{out}(s)}{V_{in}(s)}]_{dB}=20 \log_{10} (\frac{1}{\sqrt{2}})dB \approx -3.01dB\)

Dire che l’output è circa 0.7 volte l’input, significa dire che ha ampiezza massima pari al 70% dell’input, infatti sarebbe vero che:

\(V_{out}(s)=0.7 \cdot V_{in}(s)\)

Perciò, intorno ai 3dB di crollo, nel diagramma di Bode corrisponde una discesa dell’ampiezza massima dell’input di circa il 30%. L’output diventerebbe circa il 70% dell’input, in termini di ampiezza massima.

Poiché nella simulazione è stato utilizzato un generatore di tensione con frequenza di sinusoide pari a 5Hz, l’output segue praticamente perfettamente l’input, senza attenuazione. Infatti, tale effetto si può mostrare nella figura seguente:

Supponendo di voler dimezzare l’ampiezza della sinusoide in uscita deve essere che:

\(\frac{V_{out}(s)}{V_{in}(s)}=\frac{1}{2}\)

E quindi:

\([\frac{V_{out}(s)}{V_{in}(s)}]_{dB}= 20 \log_{10} ( \frac{1}{2}) dB \approx -6.02dB\)

Dal grafico di Bode precedentemente mostrato è possibile evincere come un dimezzamento dell’ampiezza corrisponde, più o meno, a una frequenza in entrata al sistema di 50Hz. Come si può notare dalla figura seguente, infatti, attribuendo al generatore una tensione oscillante di 50Hz si ottiene in uscita una sinusoide ad ampiezza dimezzata.

Quindi più la frequenza viene aumentata e maggiore è l’effetto di attenuazione dell’ampiezza della sinusoide ai capi del condensatore. Si può concludere che se l’input dovesse raggiungere frequenze alte allora il condensatore si comporterebbe praticamente con un filo conduttore a resistenza nulla. Infatti, per la legge di Kirchhoff alle maglie, la tensione dovrà cadere tutta sulla resistenza.