Quadrato iscritto in una circonferenza: come trovare le rette dei lati

Quadrato inscritto in una circonferenza è un classico argomento di geometria analitica che richiede di collegare le proprietà geometriche del quadrato con l’equazione della circonferenza. In questo articolo viene mostrato come determinare il centro e il raggio della circonferenza, ricavare le equazioni delle rette contenenti i lati del quadrato, calcolare le coordinate dei vertici e verificare il risultato con controlli analitici e geometrici. Il contenuto è pensato per studenti che cercano un esercizio svolto sul quadrato inscritto in una circonferenza con spiegazione chiara, metodo rigoroso e procedimento completo.

Metodo geometrico, verifica analitica e generalizzazione

Materia	Matematica	Area	Geometria analitica
Livello	Secondo biennio delle scuole superiori	A chi è rivolto	Studenti, maturandi e universitari che recuperano i prerequisiti
Difficoltà	Intermedia	Tempo di studio	25–35 minuti

L’equazione di una circonferenza contiene già le informazioni necessarie per costruire molte figure geometriche. In questo esercizio il passaggio decisivo non consiste nell’impostare subito un sistema, ma nel riconoscere il centro, il raggio e la relazione tra il diametro della circonferenza e la diagonale del quadrato inscritto. Una volta chiarita questa struttura, le equazioni delle rette dei lati si ottengono come distanze orientate rispetto al centro.

Scopo didattico. Ricavare centro e raggio dalla forma algebrica della circonferenza, usare le proprietà del quadrato inscritto, determinare rette e vertici e verificare il risultato con controlli indipendenti.

Prerequisiti. Completamento del quadrato, forma canonica della circonferenza, distanza tra punti, proprietà del quadrato ed equazioni delle rette verticali e orizzontali.

1 Testo dell’esercizio

Considera la circonferenza

x^2+y^2-4y=0

Determina le equazioni delle quattro rette contenenti i lati del quadrato inscritto nella circonferenza, sapendo che i lati del quadrato sono paralleli agli assi cartesiani. Determina inoltre le coordinate dei quattro vertici e verifica analiticamente il risultato.

Il vincolo sui lati paralleli agli assi è essenziale: senza questa informazione il quadrato potrebbe ruotare attorno al centro e il problema ammetterebbe infinite configurazioni.

2 Teoria necessaria per risolvere l’esercizio

Forma canonica della circonferenza

La forma canonica di una circonferenza di centro \(0 (h,k)\) e raggio \( R>0\) è

(x-h)^2+(y-k)^2=R^2

Per portare un’equazione in questa forma si può usare il completamento del quadrato.

Equazioni di rette parallele agli assi

Una retta verticale ha equazione

x=c

Mentre una retta orizzontale ha equazione

y=c

Dove \(c\) è una costante reale.

Proprietà del quadrato inscritto

Le diagonali di un quadrato:

sono congruenti;
sono perpendicolari;
si incontrano nel centro del quadrato;
dividono il quadrato in quattro triangoli rettangoli isosceli.

Se il quadrato è inscritto in una circonferenza, il centro del quadrato coincide con il centro della circonferenza e ciascuna diagonale è un diametro. Indicando con \( \ell \) il lato e con \(d\) la diagonale.

d= \ell \sqrt{2}

Poiché nel nostro caso \(d=2R\), segue

\ell=\frac{2R}{\sqrt{2}}=R\sqrt{2}

La distanza del centro da ciascun lato, che per questo quadrato coincide con il semilato, vale

\frac{ \ell}{2}= \frac{R}{ \sqrt{2}}

3 Consigli di problem solving ed errori comuni

Strategia risolutiva

La sequenza più efficiente è

\text{equazione della circonferenza} \;\rightarrow\; \text{centro e raggio} \;\rightarrow\; \text{diagonale del quadrato} \;\rightarrow\; \text{lato e semilato} \;\rightarrow\; \text{rette e vertici}

Il centro fornisce la posizione del quadrato. Il raggio fornisce la diagonale. Il semilato indica di quanto bisogna spostarsi a sinistra, a destra, verso il basso e verso l’alto rispetto al centro.

Figura 1 Costruzione del quadrato inscritto con lati paralleli agli assi cartesiani.

Idea chiave. Prima di introdurre sistemi, conviene estrarre la geometria contenuta nell’equazione. Il centro posiziona il quadrato, il raggio determina la diagonale e il semilato fornisce la distanza delle quattro rette dal centro.

Controlli preliminari

Prima di eseguire calcoli conviene controllare quale informazione geometrica è già contenuta nella figura.

Non confondere il raggio \(R\) con il diametro \(2R\).
Non confondere il lato \( \ell \) con il semilato \( \ell / 2\)
Non assegnare a una lunghezza un valore negativo: una distanza è sempre non negativa.
Da un’equazione come \(a^2=2\) seguendo entrambe le soluzioni \( a= \pm \sqrt{2}\) il significato geometrico stabilisce quale valore appartiene al lato sinistro e quale al lato destro.
Una figura è utile per comprendere ma non sostituisce la verifica analitica.
L’orientamento del quadrato deve essere specificato. Senza la condizione «lati paralleli agli assi» esistono infiniti quadrati inscritti, ottenuti ruotando la figura attorno al centro.

Attenzione. Quando si usano coordinate ordinate, il lato sinistro deve precedere quello destro e il lato inferiore deve precedere quello superiore. Una lunghezza non può risultare negativa.

Diagnostica degli errori

Usare \(R\) al posto di \( 2R\) come diagonale

Usare il lato come distanza dal centro alla retta

Dal centro a ciascun lato si percorre metà lato:

\frac{ \ell}{2}= \frac{R}{\sqrt{2}}

Dimenticare la traslazione verticale del centro

Le rette orizzontali non sono \(y= \pm \sqrt{2}\), Perché il centro non è l’origine. Occorre sommare l’ordinata del centro:

y=2 \pm \sqrt{2}

Scambiare gli indici e ottenere una lunghezza negativa

Se il lato sinistro ha ascissa \( – \sqrt{2}\) e quello destro ha ascissa \( \sqrt{2}\), la larghezza è

\sqrt{2}-(- \sqrt{2}) = 2 \sqrt{2}

Accettare il disegno come dimostrazione

La figura può apparire quadrata anche quando i valori numerici sono errati. La verifica deve usare coordinate, distanze ed equazione della circonferenza.

4 Soluzione svolta passo per passo

Passo 1 – Portare la circonferenza in forma canonica

Partiamo da

x^2+y^2-4y=0

Completiamo il quadrato nella variabile \(y\):

y^2-4y=(y-2)^2-4

Quinidi

x^2+(y-2)^2-4=0

e pertanto

x^2+(y-2)^2=4

Confrontando con la forma canonica, otteniamo:

0=(0,2) \; \; R=2

Passo 2- Determinare la diagonale del quadrato

Il quadrato è inscritto nella circonferenza. Di conseguenza, una sua diagonale coincide con un diametro:

d= 2R=4

Passo 3 – Determinare il lato

Per il quadrato vale

d= \ell \sqrt{2}

Sostituendo \(d=4\):

4= \ell \sqrt{2}

Da cui:

\ell = \frac{4}{ \sqrt{2}}

Razionalizzando oppure semplificando:

\ell = 2 \sqrt{2}

il semilato è quindi:

\frac{ \ell}{2}= \sqrt{2}

Passo 4 – Determinare le rette verticali

Il centro ha ordinata \( y_0=0\) i lati verticali si trovano a distanza \( \sqrt{2}\) dal centro:

x=x_O-√2  ”e”  x=x_O+√2.

Quindi:

y=(x=-√2) ,  y(x=√2) .

Passo 6 – Determinare i vertici

I vertici sono le intersezioni tra le rette verticali e quelle orizzontali:

\begin{array}{l} A=(-\sqrt{2},\,2-\sqrt{2}),\\[4pt] B=(\sqrt{2},\,2-\sqrt{2}),\\[4pt] C_1=(\sqrt{2},\,2+\sqrt{2}),\\[4pt] D=(-\sqrt{2},\,2+\sqrt{2}). \end{array}

Il simbolo \(C_1\) viene usato per il vertice, cosi da non confonderlo con il centro della circonferenza, indicato con \(O\).

Il risultato finale

Le quattro rette richieste sono:

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Quadrato inscritto in una circonferenza: come trovare le rette dei lati

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