Calcoli sui vasi comunicanti per liquidi non miscibili

Sono considerati vasi comunicanti due o più recipienti collegati tra loro al di sotto del livello di superficie del liquido che li riempie. Un’illustrazione schematica dei vasi comunicanti è data in Figura 1, in cui è possibile notare come l’altezza del livello di superficie del liquido a sinistra e a destra dei vasi è uguale.

Il liquido tende a riempire il recipiente mantenendo il livello di superficie uguale per tutti i punti superficiali rispetto al livello di terra.

La legge di Stevino

vale anche in questa condizione e ci dice che:

\(P=p_{a t m}+d g h\)

In cui:

• \(P\) è la pressione a una certa altezza dalla superficie;
• \(d\) è la densità del liquido;
• \(g\) è l’accelerazione gravitazionale e vale \(9.81 \frac{m}{s^{2}}\);
• \( h \) è la profondità dalla superficie dell’acqua.

Quando al liquido viene aggiunto un altro liquido immiscibile succede che i due liquidi rimangono separati. Ciascun liquido ha densità diverse e sotto tale condizione tra i vasi può instaurarsi un dislivello. Un esempio di questa situazione è rappresentato in Figura 2.

Si può assumere che il liquido blu e il liquido giallo siano rispettivamente acqua e olio. In questo caso l’aggiunta di olio provocherebbe il dislivello indicato nell’illustrazione. Il vaso che contiene l’aggiunta di olio ha un livello di superficie più alto rispetto alla controparte.

Deve essere vero che la pressione nel fondo dei vasi destro e sinistro è uguale:

\(P_{s x}=P_{d x}\)

In Figura 3 (vasi comunicanti)

viene mostrata la condizione di aggiunta dell’olio in una situazione in cui i vasi comunicanti sono pieni di acqua.

La linea tratteggiata rossa è stata tracciata in modo tale che si trovasse a livello con la superficie che separa l’olio dall’acqua. Come è possibile notare la linea rossa taglia anche il vaso sinistro. Sopra la linea rossa le quantità di volume di liquido sono diverse, perché le densità dei liquidi interessati sono diverse.

L’acqua..

che è più densa dell’olio, mostra uno stacco in altezza dalla linea tratteggiata rossa pari a \(h_{dis}\), mentre l’olio, meno denso dell’acqua, mostra uno stacco in altezza dalla linea tratteggiata rossa pari a \(h_{olio}\) .

Risulta evidente dalla figura che \(h_{\text {olio }}>h_{\text {dis }}\), che è una conseguenza del fatto che la densità dell’olio è minore di quella dell’acqua. In sostanza questo fa capire che, dato un certo volume di acqua serve più volume di olio per bilanciare il peso dell’acqua. Questo è anche il motivo per cui l’altezza del liquido del vaso destro \(h_{dx}\) è superiore a quella del vaso sinistro \(h_{sx}\) .

Supponendo che \(d_{H 2 O}\) sia la densità dell’acqua e che \(d_{olio}\)  sia la densità dell’olio, per la legge di Stevino, deve essere:

\(p_{a t m}+d_{H 2 o} g h_{d i s}=p_{a t m}+d_{\text {olio }} g h_{\text {olio }}\)

\(d_{H 2 O} h_{d i s}=d_{\text {olio }} h_{\text {olio }}\)

\(\frac{d_{H 2 O}}{d_{\text {olio }}}=\frac{h_{\text {olio }}}{h_{\text {dis }}}\)

Questo ci fa capire che, a parità di liquidi scelti, l’altezza di liquido del vaso in cui si trova l’olio sarà sempre più grande rispetto all’altra. Inoltre, tale legge ci fa capire che la differenza di altezza del liquido nei due vasi \(h_{\text {olio }}-h_{\text {dis }}\) dipende unicamente dalla quantità di olio aggiunta e non dalla quantità di liquido sotto la linea tratteggiata rossa.

Volendo generalizzare a due liquidi generici con densità \(d_1\) e \(d_2\) si può facilmente concludere che:

\(\frac{d_{1}}{d_{2}}=\frac{h_{2}}{h_{1}}\)

In cui \(h_1\)  e \(h_2\)  sono le altezze, rispetto alla linea tratteggiata rossa, a cui si trovano le superfici di liquido rispettivamente al vaso a destra e a sinstra.

Esempio vasi comunicanti per liquidi non miscibili

Supponiamo di aggiungere 100 ml di olio a dei vasi comunicanti, con sezione circolare a raggio 3cm, che contengono acqua. Di quanto si innalza il livello dell’acqua a sinistra dei vasi?

\( h_{dis} \frac{d_{H 2 O}}{d_{ \text {olio } }} = \frac{ h_{ \text {olio } }}{ \boldsymbol{h_{dis }}} \boldsymbol{h_{dis}}\)

\(\boldsymbol{d_{olio }} h_{dis} \frac{d_{H2O}}{\boldsymbol{d_{olio }}} = h_{olio } d_{olio } \)

\( \frac{h_{dis} \boldsymbol{d_{H2O}}}{ \boldsymbol{d_{H2O}}} = \frac {h_{olio} d_{olio}}{d_{H2O}} \)

\(h_{d i s}=\frac{d_{\text {olio }}}{d_{H 2 O}} h_{\text {olio }}\)

Sapendo che \(d_{\text {olio }}=0.916 \frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}^{3}}\) e che \(d_{H 2 O}=1 \frac{k g}{m^{3}}\) si ha:

\(h_{d i s}=0.916 h_{\text {olio }}\)

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