Testo

Tre conduttori rettilinei e paralleli sono collocati ai vertici di un triangolo equilatero di lato \(d=35\) cm. Ognuno di essi è attraversato da una corrente di intensità \(I=2A\), tutte dirette verso l’osservatore (cioè uscenti dal piano del foglio).

Determinare modulo, direzione e verso della forza magnetica per unità di lunghezza che agisce sul filo 1.

1.1       Consigli di problem solving

Quando si affrontano esercizi sulle forze magnetiche tra fili percorsi da corrente, è importante seguire un metodo chiaro e ragionato. Prima di tutto, disegna sempre la situazione: rappresentare i fili, indicare il verso delle correnti e la forma geometrica (in questo caso un triangolo equilatero) aiuta moltissimo a capire quali forze agiscono e in che direzione. Ricorda che due correnti nello stesso verso si attraggono, mentre due correnti in versi opposti si respingono: questo è il primo punto che spesso genera confusione.

Dopo aver capito la direzione delle forze, scomponile in componenti orizzontali e verticali. Nei problemi simmetrici, come quello del triangolo equilatero, alcune componenti si annullano automaticamente: riconoscerlo ti evita calcoli inutili. Usa sempre la formula della forza per unità di lunghezza, così il termine (lunghezza dei fili) scompare e i conti diventano più semplici.

Tra gli errori più comuni ci sono:

• invertire il verso della forza (confondere attrazione e repulsione);
• dimenticare di convertire le unità (ad esempio scrivere invece di );
• non considerare gli angoli corretti tra le forze (in un triangolo equilatero l’angolo è );
• sommare direttamente i moduli senza fare la scomposizione vettoriale.

Un buon modo per evitare questi errori è ragionare passo per passo: prima la figura, poi i versi delle forze, poi le scomposizioni, e solo alla fine i calcoli numerici. Infine, verifica che il risultato abbia senso: una forza dell’ordine di pochi micro-newton per metro () è tipica di correnti di pochi ampere a distanze di qualche decina di centimetri.esto

2        Soluzione

Si ricordi che, per due fili percorsi da corrente, vale la seguente

Soluzione

Si ricordi che, per due fili percorsi da corrente, vale la seguente

\( \overrightarrow{ \boldsymbol{F}}= \frac{ \mu}{2 \pi} \frac{i_{1} i_{2}}{d} l \cdot \widehat{ \mathbf{u}}_{r} \)

In cui:

• \( \overrightarrow{ \boldsymbol{F}} \) è la forza di attrazione tra i due fili;
• \( \mu \) è una costante, di cui  è la permeabilità magnetica del mezzo nel quale si trovano i fili;
• \( i_1 \) è la corrente che attraversa il primo filo;
• \( i_2 \) è la corrente che attraversa il secondo filo;
• \( d \) è la distanza tra i due fili;
• \( l \) è la lunghezza dei fili;
• \( \widehat{ \mathbf{u}}_{r} \) è un versore (vettore di modulo uno) che si trova sulla direzione che definisce la distanza tra i due fili.

Nel nostro caso di ha che le forze per unità di lunghezza sono:

\( \frac{\vec{\boldsymbol{F}}_{12}}{l}=\frac{\mu}{2 \pi} \frac{i_{1} i_{2}}{d_{12}} \cdot \widehat{\mathbf{u}}_{r, 12}\)

e

\( \frac{\vec{\boldsymbol{F}}_{13}}{l}=\frac{\mu}{2 \pi} \frac{i_{1} i_{3}}{d_{13}} \cdot \widehat{\mathbf{u}}_{r, 13}\)

Il reale valore della lunghezza dei fili è, hai fini dei calcoli, irrilevante, in quanto viene richiesta la forza per unità di lunghezza.

La somma vettoriale..

\( \vec{\boldsymbol{F}}_{tot}=\vec{\boldsymbol{F}}_{12}+\vec{\boldsymbol{F}}_{13} \)

Vuole che, al netto, sia:

\( \left\|\overrightarrow{\boldsymbol{F}}_{t o t}\right\|=\left\|\overrightarrow{\boldsymbol{F}}_{12}\right\| \cos \left(\frac{\pi}{6}\right)+\left\|\overrightarrow{\boldsymbol{F}}_{13}\right\| \cos \left(\frac{\pi}{6}\right)= \)

\( \left(\left\|\overrightarrow{\boldsymbol{F}}_{12}\right\|+\left\|\overrightarrow{\boldsymbol{F}}_{13}\right\|\right) \cdot \cos \left(\frac{\pi}{6}\right) \)

In quanto le componenti orizzontali si annullano. La simbologia \( \left(\left\| \cdot \right\|\right) \) identifica il modulo del vettore.

Procedendo come richiesto dal problema si osserva che i contributi dovuti a \( l \) si annullano ovunque, perché tutti i membri a sinistra e a destra dell’uguaglianza sono divisi per \( l \). Tuttavia, tutti i ragionamenti di seguito valgono per ogni metro di filo percorso da corrente.

Perciò:

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Interazione magnetica tra fili paralleli percorsi da corrente

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