1. Testo
Dimostra, con l’utilizzo delle derivate, che la tangente a una circonferenza è perpendicolare al raggio nel punto di tangenza.
2. Prerequisiti
Per poter affrontare al meglio questa tipologia di esercizio dovrai conoscere:
- il concetto e la definizione di derivata
- l’equazione della circonferenza
- come ricavare le formule inverse
3. Soluzione
Primo step
Consideriamo l’equazione generica di una circonferenza di centro C(0,0) e raggio r :
\(x^{2}+y^{2}=r^{2}\)
Secondo step
Ricaviamo la y in modo da poter esplicitare le coordinate di un punto sulla circonferenza:
\( y=± \sqrt{r^2 − x^2 } \)
Si ricordi che la circonferenza non è una funzione e, per tale motivo, nelle procedure di calcolo a seguire è stata scelta, per comodità, la semicirconferenza superiore.
Terzo step
Consideriamo un punto generico P sulla circonferenza, questo avrà coordinate:
\( P(x_P, \sqrt{r^2 − x_P^2 }) \)

Quarto step
Calcoliamo ora il coefficiente angolare del raggio della circonferenza congiungente il centro O con il punto P:
\( m_{OP} =\frac{\Delta {y}}{\Delta {x}} =\frac{{y_P}-y_O}{{x_P}-x_O}=\frac{\sqrt{r^2- x_P^2}}{x_P}\)
Quinto e ultimo step
Ricordiamo il significato di derivata di una funzione in un punto.
Il significato geometrico di derivata in un punto è il coefficiente angolare della retta tangente al grafico della funzione in quel punto.
Svolgiamo quindi la derivata della funzione rappresentante la circonferenza e calcoliamola nel punto \( P(x_P, \sqrt{r^2 − x_P^2 }) \) per dimostrare che la retta tangente alla circonferenza in quel punto è perpendicolare al raggio.
\(\frac{d f(x)}{dx}=\frac{d \left(\sqrt{r^{2}-x^{2}}\right)}{d x}=\frac{d\left(r^{2}-x^{2}\right)^{\frac{1}{2}}}{d x}= \)
\(\frac{1}{2}(-2 x)\left(r^{2}-x^{2}\right)^{-\frac{1}{2}}=\frac{-x}{\sqrt{r^{2}-x^{2}}}\)
Calcoliamo ora la derivata nel punto di ascissa \( x = x_P\)
\( m_{perp-OP} =\frac{d {f (x_{P})}}{d {x}}=\frac{- x_{P}^{2}}{\sqrt{r^{2}-x_{P}^{2}}}\ \)
Dal confronto tra
\( m_{perp-OP}= – \frac{x_{OP}}{\sqrt{r^{2}-x_P^2}}\)
e
\( m_{OP}= \frac{\sqrt{r^{2}-x_P^2}}{x_{OP}}\)
si evidenzia come un valore sia esattamente l’antireciproco dell’altro.
Questo corrisponde con la definizione di coefficienti angolari appartenenti a rette parallele, come volevasi dimostrare.
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