Triangolo sul piano cartesiano e condizioni per le rette

Benvenuto/a nel nostro articolo sulla geometria analitica! In questo scritto, tratteremo l’argomento del triangolo sul piano cartesiano e le condizioni per le rette che lo compongono. La geometria analitica è una branca della matematica che studia le figure geometriche attraverso l’utilizzo di coordinate e formule matematiche.

Nel piano cartesiano, le coordinate di un punto sono rappresentate da una coppia ordinata (x,y) di numeri reali. Le rette sul piano cartesiano possono essere descritte in diversi modi, ma una delle più comuni è l’equazione della retta y = mx + q, dove m è la pendenza della retta e q è l’intercetta sull’asse y.

Testo

Supponi di avere un triangolo nel piano cartesiano definito dai punti \(A\), \(B\) e \(C\). Determina l’equazione della retta che passa per l’altezza relativa al lato \(AC\). Scopri inoltre l’equazione della retta parallela a \(BC\) e passante per il vertice \(A\).

Le coordinate dei vertici del triangolo sono \(A(-2,4)\), \(B(4,3)\), e \(C(2,-2)\).

Soluzione

2.1 Punto 1

Utilizzando la formula della retta passante per due punti:

\( \frac{y-y_{2}}{y_{1}-y_{2}}=\frac{x-x_{2}}{x_{1}-x_{2}} \)

Trovando la retta che passa per AC:

Quindi:

La retta che passa per (AC) è dunque:

\(r_{AC}: 3x+2y-2=0\)

Calcolando il coefficiente angolare si ha:

\(m_{AC}=-\frac{a}{b}=-\frac{3}{2}\)

L’equazione dell’altezza relativa al lato del triangolo \(AC\) è la retta passante per \(B\) perpendicolare alla retta \(r_{AC}\).

Calcolando il coefficiente angolare si ha:

\(m’=-\frac{1}{m_{AC}}=-\frac{1}{-\frac{3}{2}}=\frac{2}{3}\)

Si può ora trovare la retta che passa per \(B\) con coefficiente in \(m’\) come segue :

\(y-y_B=m'(x-x_B)\)

Per rispondere al punto a, l’equazione della retta passante per l’altezza relativa al lato \(AC\) è:

\(2x-3y+3=0\)

Utilizzando poi la formula della retta passante per due punti, già precedentemente accennata e che richiamiamo:

\(\frac{y-y_2}{y_1-y_2}=\frac{x-x_2}{x_1-x_2}\)

troviamo la retta che passa per BC:

E allora:

\(r_{BC}:5x-2y-14=0\)

Calcolando il coefficiente angolare si ha:

\(m_{BC}=-\frac{a}{b}=-\frac{5}{-2}=\frac{5}{2}\)

Calcolando il coefficiente angolare della retta parallela ad BC:

\(m’=m_{BC}=\frac{5}{2}\)

Trovando ora la retta che passa per \(A\) con coefficiente \(m’\):

\(y-y_A=m'(x-x_A)\)

Per rispondere al punto b, l’equazione della retta passante per \(A\) e parallela al lato \(BC\) è:

\(5x-2y+18\)