Testo
Si voglia svolgere il seguente integrale:
\( \int \frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}-\sqrt{1-x^{2}}\)
Soluzione
Come primo passaggio si può riscrivere come segue:
\( \arcsin x-\int \sqrt{1-x^{2}} \)
Sfruttando l’integrazione per parti sul secondo addendo si ha:
\( \arcsin x-\left[x \sqrt{1-x^{2}}-\int-\frac{x^{2}}{\sqrt{1-x^{2}}}\right]=\)
\( \arcsin x-\left[x \sqrt{1-x^{2}}-\int \frac{-x^{2}+(1-1)}{\sqrt{1-x^{2}}}\right]=\)
\( \arcsin x-\left[x \sqrt{1-x^{2}}-\int \frac{1-x^{2}-1}{\sqrt{1-x^{2}}}\right]=\)
\( \arcsin x-\left[x \sqrt{1-x^{2}}-\left(\int \frac{1-x^{2}}{\sqrt{1-x^{2}}}-\int \frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}\right)\right]=\)
\( \arcsin x-\left[x \sqrt{1-x^{2}}-\left(\int \frac{1-x^{2}}{\sqrt{1-x^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{1-x^{2}}}{\sqrt{1-x^{2}}}-\int \frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}\right)\right]= \)
\( \arcsin x-\left[x \sqrt{1-x^{2}}-\int \sqrt{1-x^{2}}+\int \frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}\right]= \)
Per la quantità tra parentesi quadre si nota che:
\( \int \sqrt{1-x^{2}}=x \sqrt{1-x^{2}}-\int \sqrt{1-x^{2}}+\int \frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}\)
Quindi:
\( 2 \int \sqrt{1-x^{2}}=x \sqrt{1-x^{2}}+\int \frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}\)
Ovvero:
\( \int \sqrt{1-x^{2}}=\frac{x \sqrt{1-x^{2}}}{2}+\frac{\arcsin x}{2}\)
Quindi tutta la quantità tra parentesi quadre può essere sostituita con quella appena calcolata:
\( \arcsin x-\left[\frac{x \sqrt{1-x^{2}}}{2}+\frac{\arcsin x}{2}\right]+c\)
Il termine costante definisce le altre primitive.
Al finale, sommando, si ha che:
\( \int \frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}-\sqrt{1-x^{2}}=\frac{\arcsin x}{2}-\frac{x \sqrt{1-x^{2}}}{2}+c\)