Esercizio

Si vogliano trovare i valori di  \(x\) che soddisfano la seguente disequazione:

\( \frac{x^2 -1}{sin(x)}\leq0\)

con

\( x \in [0;2\pi]\)

Soluzione

Si sa che un rapporto è negativo se il numeratore \( N(x)\) e il denominatore \( D(x)\) hanno segno discorde.

Studiamo ora dove numeratore e denominatore sono positivi.

Poiché: \( N(x)=x^2 -1\) si ha che  \( N(x) \geq 0\) quando \( x^2 -1 \geq 0\).

Inoltre poichè \(D(x) = sin(x)\), per il quale deve essere che \( D(x) \neq 0\), si ha che  \( D(x) > 0\) quando \( sin(x) > 0\).

Si può facilmente verificare che \(N(x) \geq 0\)quando \( x \leq -1 \vee x \geq1 \) poichè \( y=x^2 -1 \) è una parabola con concavità verso l’alto che interseca l’asse delle ascisse in \( -1 \) e \( 1 \). Poiché però il problema richiede che \(x \in [0;2\pi]\) si accettano soluzioni di positività per il numeratore solo del tipo \(x \geq 1 \), in quanto le altre soluzioni di positività per il numeratore non cadono nell’intervallo richiesto.

Inoltre si può facilmente verificare che \( D(x) > 0\)per \( 0<x<\pi\), in quanto il seno è positivo in quell’intervallo per \( x \in [0;2\pi]\).

Nell’immagine seguente viene mostrato l’intervallo delle soluzioni ammesse e le regioni in cui \( N(x)\) e \( D(x)\) sono positivi o negativi. Le regioni positive di \( N(x)\) e \(D(x)\) sono tracciate con la linea continua, mentre quelle negative con la linea tratteggiata.

Siccome affinché il rapporto sia negativo \(N(x)\) e \( D(x)\) devono essere di segno discorde si può evincere come la soluzione al problema sia:

\(x 0 < x \leq 1 \vee \pi<x < 2\pi \)