Disequazioni con parabola e seno sono un argomento ricorrente dell’Analisi Matematica e dell’algebra, in cui è necessario combinare lo studio del segno di una funzione quadratica con quello della funzione seno. In questo articolo viene mostrato un esercizio svolto passo dopo passo su una disequazione che coinvolge il rapporto tra parabola e seno negativo, evidenziando il corretto studio del dominio, l’analisi del segno del numeratore e del denominatore e l’individuazione dell’insieme soluzione. Il contenuto è pensato per studenti che cercano un esercizio svolto sulle disequazioni fratte con funzioni goniometriche, con spiegazione chiara, metodo rigoroso e applicazione delle principali tecniche risolutive.

Esercizio

Si vogliano trovare i valori di  \(x\) che soddisfano la seguente disequazione:

\( \frac{x^2 -1}{sin(x)}\leq0\)

con

\( x \in [0;2\pi]\)

Soluzione

Si sa che un rapporto è negativo se il numeratore \( N(x)\) e il denominatore \( D(x)\) hanno segno discorde.

Studiamo ora dove numeratore e denominatore sono positivi.

Poiché: \( N(x)=x^2 -1\) si ha che  \( N(x) \geq 0\) quando \( x^2 -1 \geq 0\).

Inoltre poichè \(D(x) = sin(x)\), per il quale deve essere che \( D(x) \neq 0\), si ha che  \( D(x) > 0\) quando \( sin(x) > 0\).

Si può facilmente verificare che \(N(x) \geq 0\)quando \( x \leq -1 \vee x \geq1 \) poichè \( y=x^2 -1 \) è una parabola con concavità verso l’alto che interseca l’asse delle ascisse in \( -1 \) e \( 1 \). Poiché però il problema richiede che \(x \in [0;2\pi]\) si accettano soluzioni di positività per il numeratore solo del tipo \(x \geq 1 \), in quanto le altre soluzioni di positività per il numeratore non cadono nell’intervallo richiesto.

Inoltre si può facilmente verificare che \( D(x) > 0\)per \( 0<x<\pi\), in quanto il seno è positivo in quell’intervallo per \( x \in [0;2\pi]\).

Nell’immagine seguente viene mostrato l’intervallo delle soluzioni ammesse e le regioni in cui \( N(x)\) e \( D(x)\) sono positivi o negativi. Le regioni positive di \( N(x)\) e \(D(x)\) sono tracciate con la linea continua, mentre quelle negative con la linea tratteggiata.

Siccome affinché il rapporto sia negativo \(N(x)\) e \( D(x)\) devono essere di segno discorde si può evincere come la soluzione al problema sia:

\(x 0 < x \leq 1 \vee \pi<x < 2\pi \)