Disequazioni polinomiali: come capire dove un prodotto è positivo, negativo oppure nullo? In questa guida affrontiamo lo studio del segno con esempi, fattorizzazione e potenze pari. Partiamo dalla teoria e mostriamo i primi passaggi di un esercizio svolto, senza anticipare l’intero procedimento.
| Informazione | Dettaglio | Informazione | Dettaglio |
|---|---|---|---|
| Materia | Matematica | Macro-area | Algebra |
| Argomento | Disequazioni polinomiali | Focus | Studio del segno |
| Livello | Scuola secondaria di II grado | Prerequisiti | Equazioni lineari e fattorizzazione |
| Autore | Andrea Zedda | Lezione | 5 novembre 2026 |
| Formato | Guida post-lezione | Materiale | Teoria ed esercizio guidato |
Obiettivi e prerequisiti
Obiettivo. Riconoscere i fattori di segno noto, individuare gli zeri e selezionare gli intervalli compatibili con la disuguaglianza. Inoltre, l’obiettivo è saper spiegare perché un intervallo appartiene all’insieme soluzione.
Prerequisiti. Equazioni di primo grado, prodotti notevoli, fattorizzazione, potenze e disequazioni quadratiche.
Questo approfondimento riprende la lezione di Andrea Zedda del 5 novembre 2026. La dispensa comprende quattro casi guidati, controlli dei risultati e varianti per l’autovalutazione.
Mappa del percorso
Per prima cosa, distingui il segno dei singoli fattori. Poi individua gli zeri e verifica che cosa accade tra due zeri consecutivi. Infine, applica il simbolo della disuguaglianza originale. Il procedimento serve a evitare sviluppi algebrici non necessari.
1. Disequazioni polinomiali e regola dei segni
Consideriamo un polinomio scritto come prodotto di fattori: \(P(x)=F_1(x)F_2(x)\cdots F_n(x)\). Una disequazione chiede quando questo prodotto soddisfa una relazione, per esempio \(P(x)<0\) oppure \(P(x)\leq0\).
Non occorre sempre sviluppare tutti i fattori. In particolare, conviene stabilire se ciascuno è positivo, negativo o nullo. La regola generale dipende dal numero dei fattori negativi.
Due fattori: quando il prodotto è positivo o negativo?
Con due fattori non nulli, il prodotto è positivo se entrambi hanno lo stesso segno. Invece, è negativo quando i segni sono opposti. Se almeno un fattore vale zero, anche il prodotto è zero.
- Positivo × positivo = positivo.
- Negativo × negativo = positivo.
- Positivo × negativo = negativo.
- Un fattore nullo = prodotto nullo.
Tre o più fattori: conta i segni negativi
Se nessun fattore è nullo, un numero pari di fattori negativi produce un risultato positivo. Al contrario, un numero dispari di fattori negativi produce un risultato negativo.
Per esempio, \((-2)(-3)(+4)=+24\). Quindi, anche con tre fattori, non è necessario che siano tutti concordi: la parità dei segni negativi è il criterio corretto.
2. Potenze pari, potenze dispari e zeri
Le potenze pari richiedono attenzione. Infatti, per ogni numero reale \(a\) vale \(a^{2k}\geq0\), con \(k\) intero positivo. Questo significa non negativo, non necessariamente positivo: se \(a=0\), la potenza si annulla.
Per esempio, \((x+1)^4\geq0\) per ogni \(x\in\mathbb R\). Tuttavia, la potenza è esattamente zero quando \(x=-1\). Invece, una potenza dispari mantiene il segno della base.
Gli zeri sono importanti anche nella scelta degli estremi. Se la disequazione è stretta, come \(P(x)<0\), gli zeri non appartengono alla soluzione. Se invece l’uguaglianza è ammessa, come \(P(x)\leq0\), possono essere inclusi.
3. Esercizio guidato: fattore lineare e quarta potenza
Testo dell’esercizio
Risolviamo in \(\mathbb R\) la seguente disequazione polinomiale, tratta dalla dispensa:
\((2-8x)(x+1)^4\leq0\).
Teoria necessaria
Il prodotto contiene due fattori. Il primo, \(2-8x\), è lineare e può cambiare segno. Il secondo, \((x+1)^4\), è invece una potenza pari: non diventa mai negativo, anche se può annullarsi.
Perciò è utile analizzare prima la quarta potenza. Questo passaggio permette di distinguere i punti dove il prodotto è zero dagli intervalli dove può essere negativo.
Strategia ed errori da evitare
Non sviluppare subito \((x+1)^4\). Così facendo aumenteresti i calcoli senza migliorare lo studio del segno. Prima individua gli zeri dei fattori; poi controlla gli intervalli.
Domanda guida. Se uno dei due fattori è positivo quasi ovunque, ma si annulla in un punto, quando può risultare non positivo l’intero prodotto?
Soluzione svolta: primi passaggi
Passaggio 1 — Studiare la potenza pari. Poniamo \(F_2(x)=(x+1)^4\). Di conseguenza, \(F_2(x)\geq0\) per ogni numero reale. Inoltre, \(F_2(x)=0\) soltanto per \(x=-1\).
In quel punto il prodotto si annulla. Quindi, dato il simbolo \(\leq\), il valore deve essere preso in considerazione anche se appartiene a una regione di segno positivo.
Passaggio 2 — Preparare lo studio del fattore lineare. Quando \(x\neq-1\), la quarta potenza è positiva. Di conseguenza, il segno del prodotto coincide con quello del fattore lineare \(2-8x\).
Per completare il procedimento bisogna risolvere la condizione sul fattore lineare, unire correttamente le possibilità e verificare l’insieme soluzione. Il documento completo mostra anche gli estremi inclusi e il controllo con valori di prova.
4. Gli altri casi sviluppati nella dispensa
Il percorso prosegue con un prodotto di tre fattori, un raccoglimento per gruppi e una disequazione con prodotti nei due membri. In ciascun caso cambia la struttura algebrica, ma il principio resta lo stesso: rendere visibile il segno dei fattori.
Per continuare a leggere l’esercizio
La soluzione completa del caso A, le verifiche, gli altri tre esercizi guidati e le varianti per l’autovalutazione rimangono nella dispensa Disequazioni polinomiali: ragionare sul segno dei prodotti. Il relativo prodotto verrà collegato qui quando sarà disponibile.
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Dispensa post-lezione di Andrea Zedda, 5 novembre 2026. Versione 1.0 del 6 novembre 2026 · Esercizi Svolti.
