Calcolo del vettore tangente e del vettore unitario per una funzione vettoriale

1 Testo dell’esercizio

Si consideri la curva nello spazio descritta dalla funzione vettoriale

\( \overrightarrow{r}(t) = t^2\overrightarrow{i} + 2\sin(t) \overrightarrow{j} + 2\cos(t) \overrightarrow{k} \)

Determina il vettore tangente \( \overrightarrow{r}'(t)\) in forma generale.
Calcola il vettore tangente unitario \( \overrightarrow{T}(t)\) cioè la versione normalizzata del vettore tangente (quando è definita).

2 Teoria necessaria per risolvere l’esercizio

2.1 Derivata di una funzione vettoriale

\overrightarrow{r}(t) = x(t)\overrightarrow{i} + y(t)\overrightarrow{j} + z(t)\overrightarrow{k}

Allora:

\overrightarrow{r}'(t) = x'(t)\overrightarrow{i} + y'(t)\overrightarrow{j} + z'(t)\overrightarrow{k}

2.2 Vettore tangente e direzione della tangente

Il vettore \( \overrightarrow{r}'(t)\) è tangente alla curva (cioè ne indica la direzione locale) quando \( \overrightarrow{r}’ (t)\) è tangente alla curva (cioè ne indica la direzione locale) quando \( \overrightarrow{r}'(t) \neq \overrightarrow{0}\). Se \( \overrightarrow{r}'(t)\) = \( \overrightarrow{0}\). La direzione non è determinata.

2.3 Vettore tangente unitario.

Quando \( \mathbf{r}'(t) \neq \mathbf{0}\), il vettore tangente unitario è:

\overrightarrow{T}(t) = \frac{\overrightarrow{r}'(t)}{\|\overrightarrow{r}'(t)\|}

La norma di un vettore \( \overrightarrow{v}= \langle a, b,c \rangle\) è:

\( \|\overrightarrow{v}\| = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}\)

Inoltre, spesso si usa l’identità trigonometrica:

\(sin(t)^2+cos(t)^2=1\)

3 Consigli di problem solving ed errori comuni

3.1 Strategia pratica

Deriva separatamente \(x(t), \; y(t), \; z(t)\).
Calcola \( | \overrightarrow{r}'(t)\|\) facendo attenzione ai quadrati.
Semplifica usando \( \sin^2(t)+ \cos^2(t)=1\).
Dividi ogni componente per la norma per ottenere \( \overrightarrow{T}(t)\).

3.2 Errori comuni

Dimenticare che \( \frac{d}{dt}(2 \cos (t))=-2 \sin (t)\) (segno meno!).
Sbagliare la norma: va fatta con i quadrati delle componenti.
Non semplificare \( sin (t)^2+cos(t)^2 \; a \; 1\) , perdendo una semplificazione importante.
Non verificare la condizione \( \overrightarrow{r}'(t) \neq \overrightarrow{0}\) (qui in realta, la norma non si annulla mai).

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4 Soluzione svolta passo per passo

4.1 Calcolo del vettore tangente \( \overrightarrow{r}'(t) \)

La funzione è:

\overrightarrow{r}(t) = t^2 \overrightarrow{i} + 2\sin(t) \overrightarrow{j} + 2\cos(t) \overrightarrow{k}

Deriviamo componente per componente:

\( \frac{d}{dt}(2 \sin (t))=2 \cos (t)\).
\( \frac{d}{dt}(2 \cos (t))= -2 \sin (t) \).
\( \frac{d}{dt} (2 \; cos t)=-2 sin \; t\).

Quindi:

\( \overrightarrow{r}'(t) = 2t \overrightarrow{i} + 2\cos(t)\overrightarrow{j} – 2\sin(t)\overrightarrow{k} \)

4.2 Norma del vettore tangente

Calcoliamo la lunghezza:

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