Vedremo un esercizio passo dopo passo su un esempio di estrazioni

1         Testo

Un’urna contiene 5 biglie rosse e 10 biglie bianche.
Si estraggono due biglie in successione, senza rimettere la prima nell’urna.
Calcola la probabilità di:

1. estrarre due biglie rosse;
2. estrarre due biglie dello stesso colore;
3. estrarre due biglie di colori diversi.

2        💡 Consigli di Problem Solving

Quando affronti un esercizio di probabilità, non partire subito dalle formule: prima chiediti che cosa sta realmente accadendo.

In questo caso, ogni estrazione modifica l’urna, quindi il secondo evento dipende dal primo. È la tipica situazione in cui serve la probabilità condizionata: il secondo evento non è più calcolato sul totale iniziale, ma su quello che rimane dopo la prima estrazione.

Il modo migliore per evitare confusione è rappresentare l’albero degli eventi. Visualizzare i rami come “rossa → rossa”, “rossa → bianca”, “bianca → rossa” e “bianca → bianca” ti fa capire subito che ci sono quattro possibili combinazioni e che solo alcune corrispondono all’evento richiesto. Quando hai l’albero davanti, diventa più chiaro anche come applicare la regola del prodotto: moltiplichi le probabilità lungo ogni ramo e sommi quelle dei rami che descrivono lo stesso risultato finale.

Uno degli errori più comuni è trattare le estrazioni come se fossero indipendenti, cioè come se l’urna non cambiasse. È un errore tipico: molti studenti usano due volte la stessa frazione, ad esempio 5/15 e 5/15, ma il denominatore deve ridursi a 14 dopo la prima estrazione. Un altro errore frequente è dimenticare che l’evento “stesso colore” include due casi diversi, non solo quello delle palline rosse.

Un buon modo per controllare se hai ragionato bene è verificare che le probabilità totali sommino a 1: se la somma è diversa, significa che qualcosa non torna nel modello. Infine, ricordati che spesso la via più rapida è usare la probabilità complementare: per esempio, se calcolare “colori diversi” ti sembra complicato, basta fare .

Ragionare in questo modo ti aiuta a vedere la probabilità come una forma di logica, non come una formula da memorizzare. L’obiettivo non è solo ottenere il numero giusto, ma capire come i casi si relazionano tra loro.

In fondo, risolvere un problema di probabilità è come fare un piccolo esperimento mentale: prevedi, confronti, correggi. È questo che trasforma un esercizio in un vero allenamento di pensiero matematico.

3        Soluzione

3.1       Punto 1

Si vuole determinare quale è la probabilità di estrarre due biglie rosse e cioè che la prima estrazione sia di biglia rossa e la seconda estrazione sia anche essa di biglia rossa. Chiamiamo l’evento di prima estrazione \(E_1\) e l’evento di seconda estrazione \(E_2\). Chiamiamo il risultato \(R\) se l’estrazione ha dato esito “pallina rossa” e invece chiamiamo il risultato \(B\) se l’estrazione ha dato esito “pallina bianca”.

Vogliamo calcolare:

Si può osservare come i due eventi di estrazione sono tra loro indipendenti, nel senso che non c’è nessuna ragione di pensare che il primo evento di estrazione influenzi il secondo evento di estrazione. Ogni volta che c’è un evento di estrazione questo evento è da interpretarsi come evento isolato, indipendente dal precedente. Sono due eventi diversi perché il numero delle palline nell’urna è diverso ma ciò non significa che i due eventi si influenzino vicendevolmente.

Per calcolare la probabilità richiesta si considera che essa è uguale a:

E che:

Allora:

E quindi:

3.2 Punto 2

Si vuole determinare quale è la probabilità di estrarre due biglie dello stesso colore e cioè che la prima estrazione sia di una biglia rossa o bianca e la seconda estrazione sia dello stesso colore della precedente. 

La probabilità da calcolare è dunque:

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