Dimostrazione della formula di Lagrange per un sistema LTI

Andiamo a vedere la dimostrazione della formula di Lagrange

1        Testo

Sia dato un sistema dinamico lineare tempo-invariante (LTI) in forma di stato:

\(x(t_0)=x_0\)

Si richiede di dimostrare che la soluzione generale per lo stato e per l’uscita è:

Spiegare nel dettaglio:

• Quali proprietà delle matrici esponenziali vengono utilizzate.
• Perché è lecito moltiplicare per \(e^{At}\).
• In che modo si applica la regola del prodotto.
• Come si giunge all’integrale.

2        Suggerimenti di problem solving

Nell’affrontare la dimostrazione della formula di Lagrange è utile partire dalla consapevolezza che la soluzione deve comprendere due parti: l’evoluzione libera dello stato iniziale e l’evoluzione forzata dovuta all’ingresso. Sapere in anticipo che il risultato finale avrà questa forma aiuta a non perdersi nei passaggi tecnici.

Il passaggio centrale è l’introduzione del fattore integrante \(e^{-At}\) Moltiplicare l’equazione di stato per questa matrice consente di trasformare la derivata di \(x(t)\) in un termine più gestibile. È il corrispettivo matriciale del metodo risolutivo per equazioni differenziali ordinarie di primo ordine. L’operazione è sempre lecita perché \(e^{-At}\) e invertibile e commuta con A.

Applicando la regola del prodotto alla derivata di \(e^{-At} x(t)\) si ottiene un’espressione che lascia comparire solo il contributo dell’ingresso. A questo punto l’equazione si riduce a una forma integrabile. Lo studente deve ricordarsi di integrare tra i limiti corretti \(t_0\) e \(t\) evitando di trascurare i termini al bordo: un errore comune è infatti dimenticare il contributo di \(e{-At_0}x(t_0\).

Durante l’integrazione è importante non confondere le variabili \(t\) è è l’istante finale, mentre \( \tau\) è la variabile di integrazione. Un errore tipico è sostituire male le variabili o trattare \(t\) come se fosse anch’esso una variabile da integrare.

Nell’interpretare il risultato, non bisogna dimenticare che l’integrale rappresenta un accumulo nel tempo, cioè un’operazione di tipo convolutivo. Spesso gli studenti confondono la parte libera con quella forzata, oppure credono che l’integrale dipenda solo dall’istante finale. In realtà ciascun istante dell’ingresso contribuisce alla dinamica con un peso specifico determinato da \(e^{A^{t- \tau}}B\).

3       Soluzione

1.1       Proprietà utilizzate nel teorema di Lagrange per la soluzione

Queste proprietà sono fondamentali perché permettono di manipolare le espressioni matriciali che compaiono nella soluzione dell’equazione di stato. Ricordare la derivazione di queste formule aiuta a capire meglio i passaggi successivi e a evitare errori nei calcoli. In particolare, il corretto utilizzo del fattore integrante e delle regole di derivazione matriciale costituisce la chiave per arrivare alla soluzione generale del sistema.

Le proprietà sono le seguenti:

• \( \frac{d}{dt} e^{At}=Ae^{-At}\)
• \( \frac{d}{dt}e^{-At}= – Ae^{-At}\)

Regola del prodotto:

\( \frac{d}{dt}(M(t) \; x \; (t))=M(t) \; x \; (t) + M(t) \; x\: (t)\)

Queste regole, infatti, sono indispensabili per affrontare la manipolazione delle espressioni che si incontrano durante la risoluzione dell’equazione di stato. È importante notare come la conoscenza delle proprietà della matrice esponenziale consenta di semplificare i passaggi e di evitare errori frequenti, specialmente quando si lavora con sistemi dinamici a tempo continuo. In questo modo, si costruisce una base solida per comprendere le soluzioni sia nel caso omogeneo che in quello forzato.

1.1       Equazione di stato di partenza

L’equazione di stato di partenza, che rappresenta il punto di avvio per la soluzione dei sistemi dinamici lineari, è:

\( x(t)= Ax(t)+Bu(t)\)

Questa formulazione è essenziale perché descrive l’evoluzione del vettore di stato nel tempo in funzione della matrice dei coefficienti \(A\) e dell’ingresso \(u(t)\) pesato dalla matrice \(B\). Da qui, si sviluppano tutti i passaggi successivi per l’integrazione della soluzione.

3.3 Moltiplicazione per \(e^{At}\)

Per proseguire nella risoluzione si moltiplica entrambi i membri dell’equazione di stato per l’esponenziale della matrice \(e^{-At}\), ottenendo così:

\( e^{-At}x(t)= e^{-At} Ax(t)+e^{-At}Bu(t)\)

Questa moltiplicazione consente di trasformare l’equazione differenziale in una forma più facilmente integrabile, sfruttando le proprietà dell’esponenziale di matrice. In particolare, il \(e^{-At}\) agisce come un “fattore integrating” che semplifica la manipolazione dei termini, rendendo più agevole il passaggio all’integrazione e la successiva determinazione della soluzione generale del sistema.

3.4 Calcolo della derivata di \(e{-At}x(t)\)

A questo punto, è fondamentale osservare che il calcolo della derivata del prodotto tra la matrice esponenziale e il vettore di stato, ovvero \(e^{-At}x(t)\) permette di isolare il termine relativo all’ingresso \(u(t)\) e di facilitare la successiva integrazione dell’equazione. Questa strategia rappresenta uno degli strumenti matematici più potenti nella soluzione analitica dei sistemi dinamici lineari, in quanto consente di ridurre la complessità dell’equazione iniziale e di arrivare a una forma che può essere trattata con metodi classici di integrazione.

Applicando la regola del prodotto:

\( \frac{d}{dt}(e^{-At}x(t))=-Ae^{-At}x(t)+ e^{-At}x(t)\)

Sostituendo \(x(t)\):

3.5 Integrazione tra \(t_0\) e \(t\)

Per risolvere il sistema, è necessario integrare entrambi i membri dell’equazione risultante tra gli estremi \(t_0\) e \(t\). Questo procedimento permette di ottenere un’espressione esplicita per la soluzione del sistema dinamico, mettendo in evidenza il contributo sia delle condizioni iniziali sia dell’ingresso forzante. In particolare, l’integrale che compare nel secondo membro rappresenta l’effetto dell’ingresso \(u(t)\) sull’evoluzione dello stato, pesato dalla matrice esponenziale, che tiene conto della dinamica interna del sistema.

\(\int_{t_0}^t \frac{d}{d \tau}\left(e^{-A \tau} x(\tau)\right) d \tau=\int_{t_0}^t e^{-A \tau} B u(\tau) d\)

Il primo integrale fornisce:

\( e^{-At}x(t)=e^{-At_0}x(t_0)\)

Quindi per la dimostrazione del teorema di Lagrange:

\(e^{-A t} x(t)=e^{-A t_0} x\left(t_0\right)+\int_{t_0}^t e^{-A \tau} B u(\tau) d \tau\)

Moltiplicando a sinistra per \(e^{At}\):

Per continuare a leggere l’articolo sulla dimostrazione della formula di Lagrange clicca qui sotto:

Dimostrazione della formula di Lagrange per un sistema LTI

Ti è stato utile questo articolo su un sul teorema di Lagrange?

Oltre a questo articolo, non perdere l’occasione di migliorare le tue conoscenze e ottenere risultati eccellenti. Contattaci ora per verificare la disponibilità e prenota la tua lezione privata su Esercizi Svolti per eccellere nelle materie scientifiche, da qualsiasi luogo con una connessione internet! LEZIONI PRIVATE \( \rightarrow \) CLICCA QUI

Oltre a questo articolo ti consigliamo..

Di visitare il nostro negozio, dove puoi acquistare altri file in formato word per integrare i tuoi appunti. \( \rightarrow \) CLICCA QUI