Teorema di Rouché–Capelli

Guida passo–passo per affrontare sistemi lineari con parametro Teorema di Rouché-Capelli

Il teorema di Rouché–Capelli rappresenta una delle pietre miliari nella risoluzione dei sistemi lineari, specialmente quando entra in gioco un parametro. Padroneggiare la sua applicazione significa saper decidere se un sistema è compatibile, impossibile, o determinato, e trovare la soluzione quando possibile. Questo tutorial offre un percorso metodico e strategico per affrontare con sicurezza qualsiasi esercizio di questo tipo.

1        Testo

Supponiamo di dover studiare la compatibilità al variare del parametro k e risolvere il sistema:

2     Consigli per il  problem solving con Teorema di Rouché–Capelli

La soluzione di sistemi lineari con il teorema di Rouché–Capelli si articola in una serie di passaggi chiari:

• Scrivi la matrice dei coefficienti \(A\) e la matrice completa \(A | \; b\).
• Calcola il determinante di \(A\) (se quadrata) per verificare la possibilità di soluzione unica.
• Individua i casi critici in cui il determinante si annulla (qui \(k=3\) ).
• Confronta i ranghi \(rg(A)\) e \(rg(A|\; b)\).
• In caso di compatibilità, risolvi il sistema (regola di Cramer o altri metodi).

affrontare lo studio della compatibilità rispetto al parametro \(k\) è fondamentale passare dalla teoria alla pratica, traducendo i passaggi di problem solving nel calcolo esplicito delle matrici e nell’analisi delle condizioni di esistenza delle soluzioni.

3       Applicazione pratica

3.1    Matrice dei coefficienti e completa

Per iniziare, occorre esplicitare la struttura delle matrici coinvolte, sia quella dei coefficienti che quella completa. Questa operazione permette di visualizzare chiaramente il sistema e di impostare agevolmente i calcoli successivi. È utile scrivere le matrici in forma estesa, annotando ogni elemento in funzione del parametro \(k\) così da individuare subito eventuali punti di criticità o variazioni nella compatibilità. Di seguito viene mostrata la matrice \(A\) che rappresenta i coefficienti del sistema lineare di interesse:

Ora mostriamo la matrice con la colonna aggiunta dei termini noti del sistema.

Questa rappresentazione consente di osservare come il parametro \(k\) influenzi sia la struttura della matrice che le condizioni di compatibilità del sistema. In particolare, il confronto degli elementi nelle righe e nelle colonne fornisce indicazioni utili sulle possibili soluzioni e sulle condizioni di esistenza.

3.2      Calcolo del determinante

Di seguito calcoliamo il determinante di \(A\):

Il calcolo del determinante della matrice dei coefficienti, cioè della matrice A, riveste un ruolo cruciale nello studio dei sistemi lineari. Il valore del determinante permette di stabilire immediatamente se il sistema può essere risolto con un’unica soluzione (ossia se è determinato), oppure se si trova in una situazione di indeterminazione o di incompatibilità. In particolare, se il determinante è diverso da zero, la matrice è invertibile e il sistema ammette una sola soluzione; al contrario, se il determinante è nullo, occorre analizzare più a fondo i ranghi delle matrici per capire se il sistema ha infinite soluzioni o nessuna.

3.3 Analisi dei casi

• Se \(k \cancel{=} 3\) il determinante è diverso da zero, perciò \(rg(A)=3\) e, di conseguenza, anche \(rg(A | \; b) = 3\). Il sistema è determinato e ammette soluzione unica.
• Se \(k=3\) il determinante si annulla, quindi \(rg(A<3\). Dalla matrice completa si vede che \(rg (A | \; b) =3\). Il sistema è impossibile (incompatibile).

Questa distinzione tra i possibili valori di \(k\) è fondamentale per stabilire la natura del sistema. Nel caso in cui \(k\) sia diverso da \(3\) il sistema risulta pienamente determinato e tutte le variabili possono essere trovate in modo esplicito. Si può quindi procedere al calcolo diretto delle incognite tramite la regola di Cramer, sostituendo nei determinanti i valori corrispondenti ai termini noti e ai coefficienti parametrizzati dal valore di \(k\). Al contrario, nel caso particolare \(k=3\) la perdita di rango nella matrice dei coefficienti impedisce di trovare una soluzione compatibile con il vettore dei termini noti, rendendo il sistema privo di soluzioni.

Vale la pena ricordare che la condizione per cui un sistema lineare avrebbe infinite soluzioni si verifica quando il determinante della matrice dei coefficienti è nullo, cioè \(det(A)=0\), ma il rango della matrice dei coefficienti coincide con quello della matrice completa, risultando entrambi strettamente inferiori al numero delle incognite considerate. In questo caso specifico, tuttavia, quando \(k=3\) si osserva che \(rg(A) < rg (A | \; b) \) il che comporta incompatibilità e quindi nessuna soluzione. Se invece, per determinati valori del parametro e dei termini noti, si fosse verificato \(rg(A)=rg(A | \; b < 3 \) il sistema sarebbe stato indeterminato e avrebbe ammesso infinite soluzioni.

Soluzione esplicita caso (caso \(k\cancel{=}3) \)

Applichiamo ora la regola di Cramer.

Ricordiamo che:

Ricordiamo inoltre che per applicare la regola di Cramer, occorre calcolare, per ciascuna incognita, il determinante della matrice che si ottiene sostituendo la colonna relativa a quell’incognita con il vettore dei termini noti, lasciando invariate le altre colonne della matrice dei coefficienti. In particolare, per la matrice \(A_1\) osserviamo che:

Se vuoi vedere la soluzione clicca qui sotto:

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