Domanda formale con soluzione dettagliata su esercizio d’esame unconfoundedness propensity score e positivity

Domanda d’esame

Nel contesto dell’inferenza causale in studi osservazionali, si consideri la seguente affermazione:

“Se vale l’assunzione di unconfoundedness (ignorabilità) condizionata sulle covariate osservate , allora la stessa assunzione di unconfoundedness vale anche condizionando sul propensity score , a patto che sia rispettata la positivity.”

Richieste:

1. Spiega con rigore teorico perché questa affermazione è vera.
2. Definisci formalmente le condizioni di unconfoundedness e positivity.
3. Descrivi i principali vantaggi e i limiti pratici dell’uso del propensity score per l’inferenza causale.

Soluzione

a) Spiegazione teorica

L’assunzione di unconfoundedness (o ignorabilità condizionata) afferma che, a parità di covariate osservate \(X\), l’assegnazione al trattamento è indipendente dagli esiti potenziali \((Y_0,Y_1)\):

Questo significa che, controllando per \(X\), il confronto tra trattati e non trattati permette una stima imparziale dell’effetto causale.

Il propensity score è definito come la probabilità di ricevere il trattamento dato \(X\):

\( e (X)= P(T= 1 \; | \; X) \)

Rosenbaum e Rubin (1983) hanno dimostrato che, se l’unconfoundedness è verificata rispetto a \(X\), allora lo è anche rispetto al propensity score:

Il motivo è che il propensity score è una funzione sufficiente di X rispetto all’assegnazione del trattamento: a parità di propensity score, la distribuzione del trattamento è indipendente dalle covariate osservate. Condizionando su \(e (X)\) si ricrea uno scenario di randomizzazione entro strati di probabilità di trattamento, anche se i valori di \(X\) possono differire tra le unità.

In altre parole, il propensity score permette di sintetizzare l’informazione multidimensionale contenuta nelle covariate osservate in un unico indice scalare. Questo facilita notevolmente il processo di aggiustamento, poiché è più semplice confrontare o abbinare unità in base a una sola variabile piuttosto che a un elevato numero di covariate. Tuttavia, l’utilizzo efficace del propensity score richiede che vengano soddisfatte alcune condizioni fondamentali.

b) Definizioni formali

Unconfoundedness

L’assunzione richiede che gli esiti potenziali siano indipendenti dall’assegnazione del trattamento, dato il vettore delle covariate osservate \(X\):

Positivity Overlap

L’assunzione richiede che gli esiti potenziali siano indipendenti dall’assegnazione del trattamento dato il vettore delle covariate osservate \(X\): ….

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Esercizio d’esame: Unconfoundedness, Propensity Score e Positivity

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