Testo esercizio su Causal Inference

Affrontiamo l’esercizio su Causal Inference (Chain, Fork e Collider).

Domanda 1 (Teorica)

Data la struttura di una catena (vedi figura in basso) , rispondi alle seguenti domande:

• A e C sono indipendenti senza condizionare B? Spiega perché.
• A e C diventano indipendenti se condiamo rispetto a B? Fornisci una spiegazione intuitiva.

Domanda 2 (Applicativa)

Considera la seguente struttura a Fork : \( A \leftarrow B \rightarrow C \) assumendo che \(U_A \sim N (0,1), U_b \sim N(0,1) , U_c N(0,1)\), con \(B := U_b, \; A:= B +U_A, C:= B +U_c\).

Spiega se A e C sono indipendenti senza condizionare su B e perché.

Analizza cosa accade se consideriamo esclusivamente le osservazioni in cui \(B=0\)

Domanda 3 (Concettuale)

Considera una struttura collider (immoralità) come segue : \(A \rightarrow B \leftarrow C \; \; \)Rispondi alle seguenti domande:

• A e C sono indipendenti senza condizionare su B? Giustifica la risposta.
• Cosa accade alla relazione tra A e C se condiamo su B? Fornisci un esempio numerico che chiarisca la tua spiegazione.

Soluzione

1.1.1        Domanda 1

Senza condizionare B, A e C non sono indipendenti, poiché B agisce come nodo intermedio, trasmettendo indirettamente l’informazione da A a C. Infatti, variando A influenziamo B, che a sua volta influenza C. In questo modo si crea una correlazione indiretta tra A e C mediata da B. Tuttavia, quando condiamo rispetto a B, il nodo intermedio diventa una “barriera” che interrompe questo flusso di informazione, poiché conoscendo B, A non aggiunge alcuna informazione addizionale su C. Pertanto, A e C diventano indipendenti una volta controllato il valore di B.

1.1.2        Domanda 2

Senza condizionare su B, A e C non sono indipendenti perché B rappresenta una causa comune per entrambi i nodi. Questa comune dipendenza fa sì che le variazioni in B influenzino simultaneamente sia A che C, creando una correlazione indiretta tra i due nodi. Tuttavia, se consideriamo esclusivamente le osservazioni dove B=0, allora A e C risultano indipendenti. In tale scenario, infatti, entrambi i nodi sono influenzati solamente dai propri termini di rumore indipendenti \(U_A \; e \; U_C\). Poichénon c’è più alcuna causa comune attiva (B è fissato), non esiste più una fonte comune di correlazione, e A e C risultano quindi statisticamente indipendenti.

Domanda 3

Nella struttura collider, senza condizionare su B, A e C sono indipendenti poiché non esiste alcun cammino aperto che colleghi direttamente o indirettamente i due nodi. La struttura è infatti caratterizzata da due frecce che puntano verso il nodo centrale B, senza creare una connessione diretta o indiretta fra A e C. Al contrario, se condiamo su B, A e C diventano dipendenti. Questo avviene perché, fissando il valore di B, si crea una dipendenza indiretta tra A e C, che prima non esisteva. Per chiarire questo concetto, consideriamo un esempio numerico concreto: supponiamo che A e C generino numeri interi casuali e indipendenti tra 1 e 3, mentre B sia definito come somma di A e C \( B= A +C\). Se osserviamo esclusivamente i casi in cui \(B=4\), notiamo che le possibili coppie di valori per \(A, C\) sono (1,3), (2,2), o (3,1). In questo scenario, se aumenta il valore di A, il valore di C deve necessariamente diminuire, e viceversa, per mantenere costante B. Questo implica una correlazione negativa tra A e C condizionata su B.

Le proprietà distintive delle strutture collider, che creano dipendenza solo dopo aver condizionato sul nodo intermedio, sono fondamentali nella scoperta causale, poiché consentono di individuare e orientare chiaramente i legami causali in analisi su dati osservazionali.

Causal Inference: esercizi stile esame su Chain, Fork e Collider

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