Le trasformazioni omogenee sono strumenti fondamentali per descrivere i movimenti di sistemi rigidi nello spazio tridimensionale. Queste permettono di combinare traslazioni e rotazioni in un’unica rappresentazione compatta mediante matrici \( 4 \times 4\) Tale approccio è particolarmente utile nella cinematica diretta per calcolare la posizione di un punto solidale a un sistema mobile rispetto a un sistema fisso.
1 Teoria delle Trasformazioni Omogenee
Una trasformazione omogenea \(T\) è definita come:
\(T=\left[\begin{array}{ll}
R & d \\
0 & 1
\end{array}\right]\)
Dove:
\(R\) è una matrice di rotazione \( 3 \times 3\), che descrive l’orientamento del sistema mobile rispetto al sistema fisso.
\(d\) è un vettore colonna \(3 \times 1\), che rappresenta la traslazione del sistema mobile rispetto al sistema fisso.
La riga aggiuntiva \( [ 0 \; 0 \; 0 \; 1]\) è necessaria per mantenere la forma omogenea, permettendo operazioni matriciali con vettori in coordinate omogenee \( \left[\begin{array}{ll}
x \\ y \\ z \\ 1 \end{array}\right]\)
1.1.1 Traslazione
Una traslazione sposta l’origine di un sistema lungo una direzione specifica, mantenendo invariato l’orientamento. La matrice di traslazione è:
Dove \(dx\), \(dy\) e \(dz\) sono gli spostamenti lungo gli assi \(X\), \(Y\) e \(Z\).
1.1.1 Rotazione
Una rotazione ruota un sistema attorno a un asse. La matrice di rotazione dipende dall’asse:
Attorno a \(X\):
Intorno a \(Y\):
Attorno a \(Z\):
1.1.1 Composizione di Trasformazioni
Se un sistema subisce più trasformazioni, queste vengono combinate moltiplicando le matrici nell’ordine delle operazioni. La moltiplicazione non è commutativa, quindi l’ordine è fondamentale:
\(M= T_1 \cdot T_2 \cdot \; …. \; \cdot T_n\)
1.1.1 Applicazione a un Punto
Un punto nel sistema mobile è rappresentato da \(P= \left[\begin{array}{ll}
x \\ y \\ z \\ 1 \end{array}\right]\) la sua posizione rispetto al sistema fisso è:
\(P’=M \cdot P\)
2 Esercizio
Testo dell’esercizio
In un contesto biomeccanico, si considera un braccio robotico che simula i movimenti di un arto umano superiore per studiare le traiettorie delle articolazioni durante la riabilitazione. Il sistema robotico è composto da segmenti rigidi collegati da giunti rotoidali.
Il sistema mobile rappresenta l’avambraccio, inizialmente allineato con l’omero e solidale con un sistema di riferimento fissato alla spalla. Questo sistema subisce:
Traslazione di \( \left[\begin{array}{ll} 0 \\ 0.5 \\ 0 \\ 1 \end{array}\right]\) che rappresenta lo spostamento del gomito rispetto alla spalla lungo l’asse \(Y\).
Rotazione di 90° attorno all’asse \(X\) simulando una flessione del gomito.
Determinare la posizione del polso, rappresentato da un punto solidale all’avambraccio con coordinate:
\( \left[\begin{array}{ll} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{array}\right]\)
rispetto al sistema di riferimento fisso situato alla spalla.
Soluzione
Passaggio 1: Matrice di Traslazione
La matrice di traslazione è:
Passaggio 2: Matrice di Rotazione
La rotazione di 90° attorno all’asse \(X\) è:
Passaggio 3: Matrice Complessiva
La matrice di trasformazione complessiva si ottiene moltiplicando \(T\) e \(R_X\):
Passaggio 4: Calcolo della Posizione del Punto
Moltiplichiamo la matrice complessiva \(M\) per il vettore \(P\).
Eseguiamo il prodotto:
Risultato Finale
La posizione del polso rispetto al sistema fisso è:
\( P’= \left[\begin{array}{ll} 1\\ -0.5 \\ 1 \\ 1 \end{array}\right]\)
Conclusione
Questo esercizio mostra come applicare le trasformazioni omogenee per determinare la posizione di punti solidali a sistemi mobili in un contesto biomeccanico. La composizione di traslazioni e rotazioni consente di calcolare direttamente la posizione del polso rispetto alla spalla, fornendo una base per lo studio della cinematica diretta nei sistemi robotici per la riabilitazione.
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