Calcolo della DFT di un segnale campionato

Testo

Consideriamo un segnale definito nel dominio del tempo come:

\(s(t)=1- sin(60 \pi t)\)

Il segnale viene campionato a una frequenza di 120 Hz. Si desidera calcolare la DFT (Discrete Fourier Transform) di una sequenza di 8 campioni ottenuti a partire da \(t=0\). inoltre, si richiede di determinare il valore della DFT alla frequenza di 45 Hz.

determinare il valore della DFT alla frequenza di 45 Hz.

Richieste:

• 1) Calcolare la sequenza dei campioni del segnale partendo da \(t=0\)
• 2) Determinare il valore della DFT corrispondente alla frequenza di 45 Hz usando un’adeguata trasformata discreta di Fourier.

Soluzione

Step 1: Definizione del segnale

Il segnale dato è:

\(s(t)=1-sin(60 \pi t)\)

Step 2: Frequenza di campionamento

La frequenza di campionamento è:

\(f_s=120Hz\)

L’intervallo di campionamento è:

\(T_s=\frac{1}{f_s}= \frac{1}{120} secondi \)

Step 3: Valori di tempo per 8 campioni

Vogliamo ottenere 8 campioni a partire da \(t=0\). i punti di campionamento sono:

\(t=[ 0, \frac{1}{120}, \frac{2}{120}, \frac{3}{120}, \frac{4}{120}, \frac{5}{120}, \frac{6}{120}, \frac{7}{120}]\)

Step 4: Calcolo dei campioni del segnale

Ora calcoliamo i valori del segnale nei punti di campionamento:

\(s(0)=1-sin(0)=1\)

\( ( \frac{1}{120})=1- sin (60 \pi \cdot \frac{1}{120})=1- sin \frac{\pi}{2}=0\)

La sequenza campionata del segnale è quindi:

\(s[n]= [1,0,1,2,1,0,1,2]\)

Step 5: Calcolo della DFT usando FFT

Poiché vogliamo la DFT alla frequenza di 45 Hz, troviamo l’indice corrispondente \(k\) usando la formula:

\(f_k=k \cdot \frac{f_s}{N}\)

Impostiamo \(f_k=45Hz, \; f_s=120Hz\) e \(N=8\).

\(45=k \cdot \frac{120}{8} \rightarrow \; k = 3\)

Ora calcoliamo la DFT usando l’algoritmo FFT e estraiamo il valore corrispondente all’indice \(k=3\):

\(DFT a45Hz= -1.19 \; \times \; 10^{-15} \; – 3.01 \; \times \; 10^{-16}j\).

Risultato finale del calcolo della DFT di un segnale campionato

Segnale campionato: [1, 0, 1, 2, 1, 0, 1, 2]

DFT alla frequenza di 45 Hz: il risultato è approssimativamente zero, sia nella parte reale che in quella immaginaria. Questo indica che il segnale non ha una componente significativa a 45 Hz.

Calcolo della DFT di un segnale campionato

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