Nel contesto della matematica, specialmente nell’ambito delle funzioni, è fondamentale comprendere le proprietà che legano l’insieme di partenza e quello di arrivo. La verifica dell’iniettività, suriettività e biiettività di una funzione permette di analizzare come gli elementi di un dominio vengano mappati sugli elementi di un codominio.
Testo
Per risolvere l’esercizio sulla verifica di iniettività, suriettività e biiettività, si consideri la funzione \(f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \) definita da:
\(f (x)=x^3\)
Determinare se la funzione è iniettiva, suriettiva e/o biiettiva, fornendo opportune giustificazioni.
Soluzione
Verifica dell’iniettività
Per stabilire se \(f\) è iniettiva, occorre controllare che a valori distinti di \(x\) corrispondano valori distinti di \(f(x)\).
Una funzione è detta iniettiva se associa a valori distinti \(x\) valori distinti di \(y\). Non è consentito, quindi, che più valori di \(x\) abbiano lo stesso valore di \(y\). Ad esempio, la funzione \(f(x)=x^2\) che è una parabola, non è iniettiva perché valori distinti di \(x\) possono essere associati allo stesso valore di \(y\).
In particolare, si deve verificare la condizione:
\(f(x_1)=f(x_2) \rightarrow \; = x_1 \; = \; x_2\)
Nel caso di \(f(x)=x^3\):
\(f(x_1)=f(x_2) \rightarrow x_1^3 = x_2^3 \rightarrow x_1 = x_2\)
Poiché il cubo di un numero reale è unico, la funzione risulta iniettiva.
Verifica della suriettività
Una funzione è detta suriettiva se ogni elemento del codominio \(Y\) è immagine di almeno un elemento del dominio \(X\). In altre parole, per ogni \( \;y \; \in \; Y\) esiste almeno un \( \;x \; \in \; X\) tale che \(f(x)=y\).
Per determinare se \(f\) è suriettiva, è necessario verificare che, per ogni \( \; y \; \in \; R \; \) esista almeno un \( \;x \; \in \; R \; \) tale che \(f(x)=y\).
Data la definizione di \(f(x)=x^3\), dato qualunque \(y \; \in \; R \; \), si risolve:
La radice cubica di un numero reale esiste sempre in \(R\), quindi per ogni \(y\) è possibile trovare un \(x\) corrispondente. Questo implica che la funzione è suriettiva.
Verifica della biiettività
Una funzione è biiettiva se e solo se è sia iniettiva sia suriettiva. Dalle verifiche precedenti, la funzione \(f(x)=x^3\) è è iniettiva e suriettiva, quindi è biiettiva.
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