Studio di funzione con rapporto di polinomi di primo grado

Testo

Trova il dominio del seguente studio di funzione e calcola i limiti negli estremi del dominio, deduci gli asintoti verticali e orizzontali se esistono e traccia il grafico probabile della funzione.

\(f(x)= \frac{x+2}{x-3}\)

Soluzione dello studio di funzione

Studio del dominio

Il dominio di questa è dato da:

\(x-3 \cancel{=} 0\)

Quindi la funzione esiste per qualunque numero reale eccetto 3.

\(x ∈ ] − ∞ ; 3 [ ∪ ] 3 ; + ∞ [ \)

Calcolo limiti agli estremi del dominio

Limite per \(x\) che tende a \(− ∞\):

Limite per \(x\) che tende a 3 da sinistra:

\( \lim _{x \rightarrow 3^{-}} \frac{x+2}{x-3}=\frac{3^{-}+2}{3^{-}-3}=\frac{5^{-}}{0^{-}}=-\infty\)

Limite per \(x\) che tende a 3 da destra:

\( \lim _{x \rightarrow 3^{+}} \frac{x+2}{x-3}=\frac{3^{+}+2}{3^{+}-3}=\frac{5^{+}}{0^{+}}=-\infty \)

Limite per \(x\) che tende a un valore infinitamente grande:

Asintoti orizzontali e verticali dello studio di funzione

Dai calcoli precedentemente svolti si deduce che:

• \(x=3 \; \; \) è asintoto verticale;
• \(y=1\; \; \) è asintoto orizzontale;

Studiare le funzioni che sono rapporti di polinomi di primo grado è importante per diversi motivi. Innanzitutto, queste funzioni rappresentano un caso semplice di funzioni razionali, che a loro volta costituiscono una classe fondamentale di funzioni in matematica.

In particolare, il processo di analisi di queste funzioni aiuta a comprendere concetti chiave come domini di definizione, asintoti verticali e orizzontali, comportamento agli estremi, e continuità. Ad esempio, determinare il dominio di una funzione razionale richiede di identificare i valori per cui il denominatore è zero, un’abilità che si estende all’analisi di altre funzioni più complesse.