Disequazione completa con richiesta di positività (2)

Testo

Si voglia risolvere la seguente Disequazione di secondo grado:

\(3x^2+5x-2>0\)

Soluzione

Per risolvere la disequazione di secondo grado si tiene in considerazione che questa è nella forma completa e:

• \(a=3\)
• \(b=5\)
• \(c=-2\)

Quindi, la sua equazione associata, ha soluzioni del tipo:

E allora:

\(x_1=\frac{-(5)-\sqrt{(5)^2-4(-2)(3)}}{2(3)} \rightarrow x_1=\frac{-5-\sqrt{25+24}}{6}=\frac{-5-\sqrt{49}}{6}=-2 \)

Mentre:

\(x_2=\frac{-(5)+\sqrt{(5)^2-4(-2)(3)}}{2(3)} \rightarrow x_2=\frac{-5+\sqrt{25+24}}{6}=\frac{-5+\sqrt{49}}{6}=\frac{1}{3}\)

Quindi le soluzioni sono due della disequazione \( ( \Delta > 0)\) e sono:

\(x_1=-2 \; x_2= \frac{1}{2}\)

Poiché la concavità della parabola è positiva \((a>0)\) la soluzione della disequazione è:

\(x<-2 \vee x > \frac{1}{2}\)

Risolvere le disequazioni con la richiesta di positività è importante perché fornisce informazioni cruciali sul comportamento di una funzione o di un sistema di equazioni in un dato intervallo. Questo tipo di analisi ci consente di determinare i valori per i quali una funzione è positiva o negativa, e ci aiuta a comprendere la natura e l’andamento del fenomeno studiato. Inoltre, ci permette di identificare gli intervalli in cui una certa condizione è soddisfatta, fornendo così soluzioni significative per problemi pratici e matematici.

Questa approfondita comprensione dei comportamenti delle funzioni è fondamentale in molte discipline, come l’analisi matematica, la fisica, l’economia e l’ingegneria, dove spesso è cruciale determinare l’intervallo di validità di determinate condizioni o soluzioni.

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