Integrale doppio del prodotto xy in regione rettangolare

Testo

Risolvere il seguente integrale doppio:

Con \(R [1,2] \times [2, 5]\)

Soluzione

Per risolvere l’integrale doppio, integriamo prima rispetto a \(x\) e poi rispetto a \(y\):

\(\int_2^5 \int_1^2 x y d x d y \)

Calcoliamo l’integrale interno:

\(\int_1^2 x y d x=\left[y \frac{x^2}{2}\right]_1^2=y\left(\frac{4}{2}-\frac{1}{2}\right)=\frac{3 y}{2} \)

Ora calcoliamo l’integrale rispetto a y:

\(\int_2^5 \frac{3}{2} y d y=\frac{3}{2}\left[\frac{y^2}{2}\right]_2^5=\frac{3}{2}\left(\frac{23}{2}\right)=\frac{69}{4}\)

Quindi, il valore dell’integrale doppio è \( \frac{69}{4}\).

Questo esercizio dimostra un’applicazione diretta delle tecniche di integrazione per calcolare integrali doppi su regioni rettangolari. L’approccio sistematico e la semplificazione passo dopo passo rendono il processo chiaro e gestibile.

Risolvere un esercizio di integrale doppio del prodotto \(xy\) in una regione rettangolare è importante in matematica per diversi motivi.

Prima di tutto, questo tipo di esercizio ha numerose applicazioni in fisica e ingegneria. Ad esempio, può essere utilizzato per calcolare quantità fisiche come il momento di inerzia di un oggetto o il flusso di un campo vettoriale attraverso una superficie.

Inoltre, risolvere integrali doppi aiuta a sviluppare una comprensione più approfondita dei concetti di calcolo degli integrali. Richiede una padronanza dei concetti di somma di Riemann, definizione degli integrali e ordine di integrazione, tutti fondamentali nel calcolo avanzato.

Questi esercizi sono anche importanti per la preparazione a corsi successivi più avanzati di calcolo e analisi matematica. Lo studio degli integrali doppi è spesso un prerequisito per corsi come il calcolo integrale in più variabili o il calcolo vettoriale.

Infine, risolvere esercizi di questo tipo aiuta a sviluppare abilità di risoluzione dei problemi e pensiero critico, essenziali per il successo in matematica e in campi correlati.