Studio di una funzione radicale del rapporto di due funzioni

testo

Studiare la funzione:

\(f(x)= \sqrt{ \frac{1-x}{1+x}}\)

Studio del dominio

Il dominio è quell’insieme di valori \(x\) per cui la funzione esiste.

Nel nostro caso la funzione esiste se:

1. L’argomento della radice è maggiore o uguale a zero;
2. Il denominatore dell’argomento della radice è diverso da zero.

Queste condizioni si traducono in questo sistema:

Ora
dobbiamo capire per quali valori di \(x\) vale che:

\(\frac{1-x}{1+x} \geq 0 \)

Un rapporto è positivo quando numeratore e denominatore hanno segno concorde.

Quindi, studiamo separatamente numeratore e denominatore.

Per il numeratore:

\(N(x) \geq 0 \; \rightarrow 1 -x \geq 0 \; \rightarrow x \leq 1 \)

Per il denominatore:

\(D(x) > 0 \; \rightarrow 1+x >0 \; \rightarrow x > -1\)

Quindi:

Ovvero esiste per:

\(-1 < x \leq 1 \)

Intersezione della funzione con gli assi

Intersezione con \(y\):

\(f(0) = \sqrt{ \frac{1-x}{1+x}}=1\)

La funzione interseca l’asse \(y\) nel punto \(P_{y} (0,1)\)

Intersezione con \(x\) :

\(f(x)=0 \rightarrow \sqrt{ \frac{1-x}{1+x}} =0 \rightarrow 1 -x =0 \rightarrow x = 1\)

Quindi, interseca l’asse \(x\) nel punto \(P_x (1,0)\)

Studio ai limiti del dominio

Osserviamo come si comporta la funzione per \(x\) che tende a \(-1\) da destra:

\( \lim_{x rightarrow -1^+} \sqrt{ \frac{1-x}{1+x}} = \sqrt{ \frac{1-(-1^+)}{1+(-1^+)}} = \sqrt{ \frac{2^-}{0^+}} = + \propto \)

Quindi la funzione per \(x \rightarrow -1^+\) parte da un valore infinito e positivo per poi arrivare a \(x=1\) in cui vale zero.

Calcolo e studio della derivata

Dobbiamo calcolare la seguente derivata:

\(D\left[\sqrt{\frac{1-x}{1+x}}\right] \)

si ha che:

\( D\left[\sqrt{\frac{1-x}{1+x}}\right] = \frac{1}{2} ( \frac{1-x}{1+x})^{ – \frac{1}{2}} \cdot D [ \frac{1-x}{1+x} ] \)

e ricordando che:

\( D [ \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{f'(x) \cdot g(x)- f(x) g'(x)}{g^2 (x)}\)

Si ha:

Quindi:

L’unico valore che renderebbe la derivata uguale a zero è \(x=-1\) ma in quel valore di \(x\) la funzione non esiste. Quindi non ha valori di massimo e di minimo relativi.