Disequazione di un rapporto di polinomi di secondo grado esempio 2

Testo della disequazione

Si vuole risolvere il seguente disequazione del rapporto di due equazioni di secondo grado:

\(\frac{x^2-4x+4}{3x^2-5x+2}>0\)

Soluzione

Si studia separatamente numeratore \(N(x)\) e denominatore \(D(x)\):

\(N(x) > 0 \rightarrow  x^2-3x+4>0\)

\(D(x) >0 \rightarrow 3x^2-5x+2>0\)

L’equazione associata del numeratore ha soluzioni:

\(x_{1,2}=\frac{-b \pm \sqrt{b^2 -4ac}}{2a} = \frac{+4 \pm \sqrt {0}}{2}\)

E, essendo \(a >0\) ha quindi soluzioni per qualunque valore di x.

L’equazione associata del denominatore ha soluzioni:

\(x_{1,2}= \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\sqrt{+5 \pm \sqrt{1}}{6}\)

\(x_1=-\frac{2}{3} ; \; \; \; x_2=1\)

Che definiscono anche i valori che \(x\) non può assumere.

E, essendo \(a >0\) ha quindi soluzioni:

\(x< – \frac{2}{3} \vee x> 1\)

Ora verifichiamo i segni:

Si deduce che il rapporto della disequazione è positivo per \(- \frac{2}{3} < x \vee x > 1\).

ma a cosa serve la disequazione?

Le disequazioni di secondo grado sono importanti perché sono utilizzate in molte applicazioni pratiche, come nel calcolo della massima o minima di una funzione quadratica, nel determinare intervalli di crescita o decrescita di una funzione, e nel risolvere problemi di ottimizzazione. Inoltre, attraverso le disequazioni di secondo grado è possibile studiare il comportamento di funzioni quadratiche in determinati intervalli, comprendendo quando una funzione è positiva, negativa o nulla.

Molte volte ci si trova ad affrontare sistemi di disequazioni di secondo grado, che richiedono la capacità di risolvere e interpretare più disequazioni simultaneamente.

Risolvere disequazioni di secondo grado permette di comprendere meglio la forma standard delle equazioni quadratiche e come variano i segni delle loro soluzioni. Infine, le disequazioni di secondo grado sono una parte fondamentale dell’Algebra e la loro comprensione è importante per la risoluzione di problemi più complessi in matematica e in altri campi scientifici.

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