Disequazione di un rapporto di polinomi di secondo grado

Testo

Si vuole risolvere la seguente disequazione del rapporto di due equazioni di secondo grado:

\( \frac{x^2+5x+4}{x^”-5x-6}< 0\)

Soluzione della disequazione

Si studia separatamente numeratore \(N(x)\) e denominatore \(D(x)\):

• \(N(x)>0 \rightarrow x^2 +5x+4 > 0\)
• \(D(x) >0 \rightarrow x^2-5x-6>0\)

L’equazione associata del numeratore ha soluzioni:

\(x_{1,2}= \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{-5 \pm \sqrt{9}}{2}\)

\(x_1=-4; \; \; \; \; x^2 =-1\)

E, essendo \(a>0\), ha quindi soluzioni:

\(x< -4 \vee x> -1\)

L’equazione associata del denominatore ha soluzioni:

\(x_{1,2}= \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{+5 \pm \sqrt{49}}{2}\)

\(x_1=-1; \; \; \; \; x^2 =6\)

Che definiscono anche i valori che \(x\) non può assumere.

E, essendo \(a>0\), il denominatore ha quindi soluzioni:

\(x<-1 \vee x >6\)

Ora verifichiamo i segni.

Si deduce che il rapporto è negativo per:

\( -4 < x < -1 \vee -1 < x < 6 \)

Le disequazioni sono importanti perché permettono di rappresentare e risolvere una vasta gamma di problemi reali, come ad esempio modelli finanziari, situazioni di crescita o decadimento, limiti fisici, e molto altro. Esse ci consentono di stabilire relazioni tra quantità e condizioni, e di prendere decisioni informate basate su queste relazioni. Inoltre, le disequazioni sono fondamentali nell’ambito della matematica e delle scienze in generale, poiché ci permettono di comprendere e analizzare fenomeni che coinvolgono relazioni di ordine e grandezze variabili.

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