Disegnare una circonferenza dall’equazione

Centro, raggio e completamento del quadrato: tre casi guidati

Campo	Informazione	Campo	Informazione
Materia	Matematica	Macro-area	Geometria analitica
Argomento	Centro e raggio	Sottocategoria	Equazioni e grafici
Livello	Scuola superiore	Destinatari	Studenti del triennio
Difficoltà	Base / intermedia	Tempo di studio	35–45 min · stima editoriale
Tipo contenuto	Articolo / esercizio	Autore / cura	Esercizi Svolti
Versione contenuto	1.0	Sistema template	ES 2.7
Data revisione	26 ottobre 2026	Obiettivo	Ricavare centro e raggio; costruire e verificare il grafico.

Prerequisiti. Coordinate cartesiane, quadrato di un binomio, uguaglianze equivalenti e radice quadrata. Leggi la teoria, prova a impostare i tre casi, poi confronta lo svolgimento.

Introduzione didattica

Un’equazione sviluppata può nascondere la posizione e le dimensioni di una circonferenza. Il completamento del quadrato la riscrive in una forma nella quale centro e raggio diventano leggibili, senza cambiare i punti che soddisfano l’equazione.

Il passaggio richiede attenzione: i segni nelle parentesi non si copiano nelle coordinate del centro, il secondo membro rappresenta il quadrato del raggio e gli esponenti devono restare corretti. I tre casi mostrano come controllare questi aspetti e come costruire il disegno da punti calcolati.

Scopo didattico. Collegare ogni trasformazione algebrica a un’informazione geometrica e verificare il risultato senza affidarsi soltanto all’aspetto del grafico.

1. Testo dell’esercizio

Nel piano cartesiano considera i tre luoghi geometrici definiti dalle seguenti equazioni. Le coordinate sono espresse nella stessa unità grafica sui due assi.

\begin{array}{l} \mathrm{A:}\quad x^2+y^2-2x+4y-11=0 \\[4pt] \mathrm{B:}\quad x^2+y^2-4y-5=0 \\[4pt] \mathrm{C:}\quad x^2+y^2-4x=0 \end{array}

Per ciascun caso: riscrivi l’equazione in forma canonica, determina centro e raggio, calcola i quattro estremi dei diametri paralleli agli assi e traccia la circonferenza. Controlla poi un punto nell’equazione iniziale. Per il caso C stabilisci anche se l’asse verticale è tangente.

2. Teoria necessaria per risolvere l’esercizio

2.1 Dalla distanza alla forma canonica

Una circonferenza è l’insieme dei punti \(P(x,y)\) che hanno distanza costante \(r>0\) da un centro \( C(h,k)\) . Le differenze \(x-h\) e \(y-k\) sono gli spostamenti orizzontale e verticale dal centro. Per il teorema di Pitagora, al somma dei loro quadrati è il quadrato della distanza[1].

(x-h)^2+(y-k)^2=r^2

questa è la forma canonica. Le coordinate \(h\) e \(k\) collocano il centro; \(r\) misura il raggio. Il primo addendo descrive lo spostamento orizzontale al quadrato, il secondo quello verticale. La circonferenza è il bordo: i punti interni non soddisfano questa uguaglianza.

“`latex \begin{array}{l} \textbf{Lettura dei segni.}\ \text{Il centro annulla entrambe le parentesi.} \\[4pt] \text{In }(x-1)^2+(y+2)^2=16,\text{ ciò avviene per }x=1\text{ e }y=-2. \\[4pt] \text{Quindi il centro è }C(1,-2)\text{ e il raggio è }\sqrt{16}=4,\text{ non sedici.} \end{array} “`

2.2 Perché si completa il quadrato

Per Trasformare \(x^2+ax\) in un quadrato si prende metà del coefficiente lineare \( \frac{a}{2}\) e si eleva al quadrato. Il motivo è l’identità seguente.

\left(x+\frac{a}{2}\right)^2=x^2+ax+\frac{a^2}{4}

Il termine \(ax\) nasce dal doppio prodotto. Il termine \( \frac{a^2}{4}\) completa il quadrato: quando lo aggiungi a un membro dell’equazione, devi aggiungere la stessa quantità anche all’altro. Si applica lo stesso procedimento ai termini in \(y\).

2.3 Formula generale e condizioni di esistenza

Considera la forma sviluppata \(x^2+y^2+ax+by+c=0\), nella quale, \(a,b,c\) sono coefficienti reali. Completando entrambi i quadrati si ottiene.

\left(x+\frac{a}{2}\right)^2=x^2+ax+\frac{a^2}{4}

Il secondo membro decide quale insieme è descritto. Se è positivo, esiste una circonferenza; se è zero, rimane soltanto il centro; se è negativo, non esistono punti reali, perché una somma di quadrati non può essere negativa. Nel primo caso:

C\left(-\frac{a}{2},-\frac{b}{2}\right),\qquad r=\sqrt{\frac{a^2+b^2}{4}-c}

La formula del centro cambia il segno e dimezza i coefficienti lineari. Nel radicando compaiono i quadrati delle metà dei coefficienti lineari e il termine noto con segno opposto. Si sceglie la radice positiva perché il raggio è una lunghezza.

\begin{array}{l} \textbf{Campo di applicazione.}\ \text{Questa formula vale nella forma scritta sopra: coefficienti di }x^2\text{ e }y^2 \\ \text{uguali a uno e nessun termine }xy.\ \text{Se i coefficienti quadratici sono uguali, non nulli e diversi da uno,} \\ \text{dividi prima l’intera equazione per quel coefficiente.} \end{array}

3. Consigli di Problem Solving

Raggruppa i termini della stessa coordinata e porta il termine noto a destra. Completa un quadrato alla volta. Leggi centro e raggio solo dopo aver raccolto i quadrati; infine costruisci il grafico con punti di controllo.

Errore	Perché non funziona	Correzione
Copiare i segni delle parentesi	Le parentesi esprimono differenze dal centro.	Trova i valori che annullano ciascuna parentesi.
Usare il secondo membro come raggio	Nella forma canonica compare il raggio al quadrato.	Calcola la radice quadrata positiva.
Aggiungere una costante da una parte sola	Si modifica l’insieme delle soluzioni.	Aggiungi la stessa quantità a entrambi i membri.
Perdere un esponente	La curva descritta può non essere più una circonferenza.	Confronta ogni termine e riespandi i quadrati.
Disegnare con scale diverse	Una stessa distanza appare diversa sui due assi.	Usa quadretti quadrati e la stessa unità grafica.

Nei grafici, i pedici \(L, R, U \) e \(D\) indicano rispettivamente sinistra, destra, alto e basso. Il centro non è uno di questi punti: per \( r>0\) si trova all’interno, non sulla circonferenza.

4. Soluzione svolta passo per passo

4.1 Circonferenza A: Completare due quadrati

Portiamo il termine noto a destra e raggruppiamo i termini. Vogliamo riconoscere due quadrati di binomio, uno per ogni coordinata:

(x^2-2x)+(y^2+4y)=11

Per il primo gruppo aggiungiamo 1, quadrato della metà di -2; per il secondo aggiungiamo 4, quadrato della metà di 4. A destra aggiungiamo le stesse quantità:

\begin{array}{l} (x^2-2x+1)+(y^2+4y+4)=11+1+4 \\[4pt] (x-1)^2+(y+2)^2=16 \end{array}

Le parentesi si annullano in \(C(1,-2)\). Poiché \(r^2=16\) , il raggio è \(r=4\). Per trovare gli estremi dei diametri, ci spostiamo di quattro unità dal centro lungo una coordinata alla volta:

\begin{array}{l} P_L=(-3,-2),\qquad P_R=(5,-2) \\[4pt] P_U=(1,2),\qquad P_D=(1,-6) \end{array}

Disegnare una circonferenza dall’equazione — Figura 1. Il centro è un’unità a destra e due sotto l’origine. Il segmento arancione ha lunghezza ; i punti estremi fissano l’ingombro del disegno

4.2 Circonferenza B: il centro è sull’asse verticale

Nell’equazione B manca il termine lineare \(x\). La coordinata orizzontale del centro sarà quindi zero. Completiamo soltanto il quadrato relativo a \(y\).

x^2+(y^2-4y)=5

La metà di \(-4\) è \(-2\) e il suo quadrato è \(4\). Aggiungere quattro a entrambi i membri conserva l’equazione:

\begin{array}{l} x^2+(y^2-4y+4)=5+4 \\[4pt] x^2+(y-2)^2=9 \end{array}

Il termine \(x^2\) può essere letto come \((x-0)^2 \). Otteniamo quindi \(c(0,2)\) e \( r= \sqrt{9}=3\). I quattro punti di controllo sono:

\begin{array}{l} P_L=(-3,2),\qquad P_R=(3,2) \\[4pt] P_U=(0,5),\qquad P_D=(0,-1) \end{array}

Non confondere centro e intersezione. La presenza del centro sull’asse y, non significa che la circonferenza tocchi l’asse in un solo punto: qui lo interseca in \( (0,5)\) e \((0,-1)\).

4.3 Circonferenza C: un diametro termina nell’origine

Nell’equazione \(C\) manca il termine lineare in \(y\), quindi il centro è sull’asse orizzontale. Completiamo il quadrato relativo a \(x\):

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