Circonferenza nel piano cartesiano: punto sull’arco con area del triangolo assegnata

1        Testo dell’esercizio

Considera la circonferenza di equazione

\(x^{2}+y^{2}-6 x-4 y=0\)

Indica con \(A\) il punto in cui la circonferenza incontra il semiasse positivo \(y\) e con il \(B\) il punto in cui incontra il semiasse positivo \(x\).

Sull’arco \(AB\) che non passa per l’origine \(O (0,0)\) , trova il (o,i) punto/i \(P\) tale /i che l’aera del triangolo \(APB\) sia pari a 12.

2 Teoria necessaria per risolvere l’esercizio

2.1 Forma canonica della circonferenza (completamento dei quadrati)

Partendo da \(x^2+y^2+ax+by+c=0\) , si raggruppa e si completa il quadrato per ottenere:

\(( x-h)^2+(y-k)^2=r^2\)

Dove \((h,k)\) è il centro e \(r\) il raggio.

2.2 Intersezioni con gli assi

• Con l’asse \(y\) : si pone \(x=0\).
• Con l’asse \(x\) : si pone \(y=0\).

Si sceglie poi il punto sul semiasse positivo richiesto.

2.3 Area di un triangolo date le coordinate

Per \(A(x_A,y_A)\); \(B(x_B,y_B)\) , \(P(x,y)\).

\( Area= \frac{1}{2} | \; det ( \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AP}) | = \frac{1}{2} | (x_B-x_A) (y-y_A)-(y_B-y_A)(x-x_A) \; | \)

Imporre un’area fissata equivale spesso a imporre che \(P\) stia su una (o due) rette.

2.4      Intersezione retta–circonferenza

Si risolve un sistema: equazione della retta + equazione della circonferenza.

3        Consigli di problem solving ed errori comuni

• Prima trova bene \(A\) e \(B\): con gli assi spesso escono due soluzioni, ma va scelta quella sul semiasse positivo.
• Quando imponi l’area con il valore assoluto, ricordati che:

\( | \; E \; | = 12 \rightarrow E= 12 \; oppure \; E= -12\)

quindi di solito nascono due rette candidate.

• Dopo aver trovato i punti di intersezione, controlla dove stanno sulla circonferenza: qui bisogna prendere solo quelli sull’arco \(AB\) che non contiene \( O\).
• Errore tipico: includere \(O\) come soluzione ( qui capita davvero!), ma l’arco richiesto lo esclude.

4 Soluzione svolta passo per passo

1. Metto la circonferenza in forma canonica

\(x^2-6x+y^2-4y=0\)

\( ( x-3)^2-9+(y-2)^2-4=0\)

\( (x-3)^2+(y-2)^2 -4 =0\)

\( ( x-3)^2+(y-2)^2=13\)

Quindi centro \( C(3,2)\) e raggio \( r= \sqrt{13}\)

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