Esercizio svolto sui fasci di rette con parametro

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Bene iniziamo con la soluzione dell’esercizio!

1 Testo dell’esercizio

Consideriamo la famiglia di rette (cioè un insieme di infinite rette) descritta dall’equazione con parametro \(a\):

\(3ax+4ay+3a-1=0\)

• Decidi se questo insieme di rette forma un fascio proprio oppure un fascio improprio.
• Trova l’equazione della retta del fascio che passa per il punto \( ( \frac{2}{3}, -1)\),
• Trova l’equazione della retta del fascio che passa per l’origine (0,0).

2 Teoria necessaria per risolvere l’esercizio

Un fascio di rette è un insieme di rette che dipende da un parametro (qui il parametro è \(a\) ). Variando \(a\), otteniamo rette diverse.

In genere, un fascio può essere:

• Fascio proprio: tutte le rette passano per uno stesso punto fisso (detto “centro del fascio”).
• Fascio improprio: tutte le rette hanno lo stesso coefficiente angolare, quindi sono tutte parallele tra loro.

Quindi:

• se cambia il coefficiente angolare al cambiare di \(a\), spesso siamo in un fascio proprio;
• se il coefficiente angolare è sempre lo stesso, siamo in un fascio improprio.

1.1       Coefficiente angolare di una retta

Una retta scritta in forma esplicita:

\( y= mx+q\)

Ha:

• \(m=coefficiente \; angolare \) (indica l’inclinazione)
• \(q= incertezza \; sull’asse \; y \; (dove \; taglia \; l’asse \; y ) \)

Per trovare \(m\) quando la retta è scritta in forma:

\(Ax+By+C=0\)

Basta isolare \(y\):

\( By=-Ax-C \rightarrow y= – \frac{A}{B} x – \frac{C}{B}\)

Quindi:

\(m= – \frac{A}{B}\)

2.3 Retta passante per un punto con coefficiente angolare noto

Se conosci:

• Un punto \(P (x_0,y_0)\)
• Il coefficiente angolare \(m\)

l’equazione della retta si scrive con la formula:

\(y-y_0=m(x-x_0)\)

Questa formula è molto utile perché “costruisce” direttamente la retta che:

• Ha inclinazione \(m\)
• Passa per il punto assegnato

2.4 Retta passante per l’origine

l’origine è il punto:

\( (0,0)\)

Se una retta passa per l’origine, in forma esplicita diventa:

\(y=mx\)

Perché \(q=0\) (infatti l’intercetta sull’asse \(y\) deve essere zero: la retta passa proprio da \( (0,0)\).

3 Consigli di problem solving ed errori comuni

3.1 Strategia consigliata

1. Capisci che c’è un parametro: qui è . Quindi stai lavorando con una famiglia di rette.
2. Trova il coefficiente angolare mettendo l’equazione in forma \(y =mx +q\).
3. Se \(m\) è sempre lo stesso (non dipende da \(a\) ), allora fascio è improprio.
4. Per trovare una retta del fascio che passa per un punto: (usa \(m\) del fascio) e (applica la formula \(y-y_0=m(x-x_0)\).
5. Alla fine porta l’equazione in forma normale \(Ax+Bx+C=0\) e elimina i denominatori.

3.2 Errori comuni (e come evitarli)

• Errore 1: dividere per \(a\) senza pensarci

in molte situazioni dividere per \(a\) è lecito solo se \(a \cancel{=}0\). Qui però l’equazione contiene anche -1 infatti, se \(a=0\) si avrebbe \(-1=0\), impossibile. Quindi automaticamente \(a \cancel{=}0\) e possiamo dividere tranquillamente per \(a\).

• Errore 2: calcolare male \(m\)

Ricorda: per \( Ax+ By+C=0\), vale \(m – \frac{A}{B}\).

• Errore 3: lasciare frazioni inutili
  Dopo aver trovato l’equazione, conviene moltiplicare per il minimo comune multiplo per ottenere coefficienti interi.

4    Soluzione svolta passo per passo

Passo 0: osservazione importante sul parametro \(a\).

Partiamo dall’equazione:

\(3ax +4ay +3a-1=0\)

Se mettessimo \(a=0\), otterremmo:

\(0+0+0-1=0 \rightarrow = -1 =0\)

che è falso perché -1 non può essere uguale a zero. Quindi \(a\) non può essere 0, cioè:

\( a \cancel{=}0\)

Questo è utile perché ci permette di dividere tutta l’equazione per \(a\) senza problemi.

4.2      Stabilire se il fascio è proprio o improprio

4.2.1 Passo 1: isoliamo \(y\) per trovare il coefficiente angolare.

Ripartiamo da:

\(3ax +4ay +3a-1=0\)

Portiamo i termini che non contengono \(y\) dall’altra parte:

\(4ay=-3ax-3a+1\)

Spiegazione:

• \(3ax\) passa a destra e diventa \(-3ax\)
• \(3a\) passa a destra e diventa \(-3a\)
• \(-1\) passa a destra e diventa \(+1\)

Ora dividiamo per \(4a\) ( possibile perché \(a \cancel{=}0) \) :

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