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Bene iniziamo con la soluzione dell’esercizio!

1 testo dell’esercizio

Una bobina formata da 35 spire circolari, ciascuna con raggio pari a 2,5 cm, è collegata a un circuito privo di generatori. Muovendo avanti e indietro una calamita nelle vicinanze, il campo magnetico medio attraverso la superficie della bobina subisce una variazione di 5,8 mT. La calamita compie quattro cicli completi al secondo, cioè il campo magnetico aumenta e diminuisce 4 volte ogni secondo. Determinare il valore medio della forza elettromotrice indotta nel circuito

2        Teoria necessaria per risolvere l’esercizio

Quando si studia l’induzione elettromagnetica è utile partire dal modo in cui il flusso magnetico varia quando un campo cambia nel tempo. Se la bobina non modifica né la sua area né il suo orientamento, la variazione del flusso dipende esclusivamente dalla variazione dell’intensità del campo magnetico. In questo caso la relazione fondamentale assume la forma

Questa equazione comprende diversi parametri, ognuno con un ruolo preciso nel descrivere il fenomeno:

• \( \Delta \Phi\) è la variazione del flusso magnetico che attraversa la spira; rappresenta il cambiamento effettivo del “passaggio” delle linee di campo attraverso la superficie.
• \( \Delta B\) indica di quanto cambia l’intensità del campo magnetico tra l’istante iniziale e quello finale.
• \( S\) è l’area della spira e determina quanta superficie è interessata dal campo magnetico.
• \( \alpha\) è l’angolo tra la direzione del campo magnetico e la normale alla superficie della spira; il termine \(cos \; \alpha\) tiene conto dell’effettiva inclinazione del campo rispetto alla bobina.

Una volta compresa la variazione di flusso, si può passare alla forza elettromotrice indotta. Secondo la legge di Faraday–Neumann–Lenz, una bobina attraversata da una variazione di flusso genera una forza elettromotrice proporzionale alla rapidità del cambiamento e al numero di spire. Tale relazione viene espressa da:

Questo è importante riconoscere il significato dei parametri coinvolti:

\(N\) rappresenta il numero di spire della bobina: più spire sono presenti, maggiore sarà il contributo complessivo alla f.e.m indotta.

\( \Delta t\) è l’intervallo di tempo durante il quale avviene il cambiamento del flusso; la f.e.m cresce quanto la variazione è più rapida.

Per determinare correttamente il valore di \( \Delta t\) ci si affida spesso alla frequenza con cui il fenomeno si ripete. Quando un campo varia periodicamente, come nel caso di una calamita che viene mossa avanti e indietro, la durata di un singolo ciclo di variazione è legata alla frequenza dalla relazione:

\( \Delta t= \frac{1}{f}\)

La frequenza \(f\) misura quante variazioni complete avvengono in un secondo, mentre \( \Delta t\) rappresenta il tempo necessario perché si compia uno di questi cicli. Conoscere questo rapporto è essenziale per collegare il comportamento temporale del campo alla f.e.m. che si genera nella bobina.

3       Consigli di problem solving ed errori comuni

Quando si affronta un esercizio di induzione elettromagnetica è importante, prima di tutto, capire quale sia la grandezza che effettivamente varia. Nel caso della bobina investita dal campo magnetico creato dalla calamita, ciò che cambia è soltanto il valore di \(B\) mentre l’area delle spire e la loro orientazione rimangono costanti. Una volta chiarito questo punto, occorre prestare molta attenzione alle unità di misura: i calcoli vanno sempre eseguiti in metri e tesla, quindi è indispensabile convertire il raggio da centimetri a metri e la variazione del campo da millitesla a tesla.

Il flusso magnetico va calcolato inizialmente per una singola spira, perché è proprio attraverso una spira che il campo agisce. Solo dopo aver determinato questa variazione elementare si moltiplica il risultato per il numero totale di spire, ottenendo così il flusso variato complessivamente da tutta la bobina. Quando poi si applica la legge di Faraday–Neumann–Lenz, conviene ricordare che il segno negativo indicato nella formula serve soltanto a esprimere il verso della corrente indotta; se la richiesta riguarda il valore medio della forza elettromotrice, è sufficiente considerare il modulo della grandezza.

Bisogna interpretare correttamente la frequenza con cui il campo magnetico varia. Dire che la calamita compie quattro cicli al secondo non significa che il campo aumenti di quattro volte il suo valore, ma che ogni ciclo rappresenta una variazione completa che va da un valore minimo a un valore massimo e ritorno. Questo permette di individuare correttamente il tempo caratteristico di ciascuna variazione, fondamentale per il calcolo della f.e.m. media.

4        Soluzione svolta passo per passo

4.1       Calcolo dell’area di una spira

Per iniziare occorre determinare l’area della superficie attraversata dal campo magnetico in ciascuna spira della bobina. Il raggio fornito dall’esercizio è pari a 2,5 cm. Poiché tutte le grandezze devono essere espresse nel Sistema Internazionale, la prima operazione consiste nel convertirlo in metri, ottenendo così:

\( r=2,5 cm= 0,025 m\)

A questo punto è possibile calcolare l’area della spira utilizzando la ben nota formula del cerchio. Sostituendo il valore del raggio si ha:

\(S= \pi r^2= \pi (0,025)^2 \approx 1, 96 \times 10^{-3} m^2\)

4.2      Variazione di campo magnetico

Il problema indica che il campo magnetico varia di 5,8 millitesla. Anche in questo caso occorre convertire la misura in tesla per coerenza con il Sistema Internazionale, ottenendo:

Si assume inoltre che il campo magnetico sia perpendicolare al piano della spira. Ciò significa che l’angolo  tra il campo e la normale alla superficie è pari a zero, e dunque

\( cos \alpha = 1\)

Questa condizione semplifica notevolmente il calcolo del flusso magnetico.

4.3      Flusso magnetico variato in una spira

Una volta noti la variazione del campo magnetico e l’area della spira, si può procedere a determinare la variazione di flusso magnetico che interessa una sola spira. Applicando la relazione:

\( \Delta \Phi_{spira}= \Delta B \cdot S\)

E sostituendo i valori ottenuti nelle sezioni precedenti si ricava:

\( \Delta \Phi_{spira}= (5,8 \times 10^{-3}) (1,96 \times 10^{-3}) \approx 1,14 \times 10^{-5} Wb \)

Questo rappresenta il cambiamento di flusso magnetico che ogni singola spira sperimenta durante una variazione completa del campo.

4.4       Flusso variato in tutta la bobina

La bobina è costituita da 35 spire identiche e attraversate simultaneamente dalla stessa variazione di campo magnetico. Poiché ogni spira contribuisce in modo uguale alla variazione del flusso totale, è sufficiente moltiplicare il valore ottenuto per una spira per il numero complessivo di avvolgimenti. Si ottiene così:

Per continuare con la soluzione clicca qui sotto:

Esempio di calcolo della f.e.m. indotta da una calamita in movimento

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