Cosa succede al volume e alla densità dell’olio quando la temperatura aumenta?

Testo

Un bottiglione di vetro da 2,0L  è pieno fino all’orlo di olio d’oliva alla temperatura di 10°C. Successivamente la temperatura aumenta fino a 30°C.

• Quanto olio in \( cm^3  \)trabocca dalla bottiglia?
• Calcola in percentuale la variazione della densità di olio d’oliva per la stessa variazione di temperatura.

1        Consigli per il problem solving

Quando ti trovi davanti a un problema di dilatazione termica o variazione della densità, il primo passo è chiarire chi si dilata: il liquido, il contenitore, o entrambi. Molti errori nascono proprio dal confondere i due contributi o dal dimenticare che anche il recipiente, se di vetro o metallo, cambia leggermente volume. Impara a separarli mentalmente fin dall’inizio: prima pensa all’olio, poi al vetro, e solo dopo metti insieme i due risultati.

Un altro punto critico sono le unità di misura. È molto comune mischiare litri e centimetri cubi, oppure fare passaggi inutili con i gradi Kelvin. La regola d’oro: scegli un’unica unità per tutti i volumi e non cambiare più fino alla fine. Questo da solo elimina metà degli errori tipici.

Impara poi a fare un controllo di buon senso. Se stai lavorando con pochi gradi di differenza, l’olio non può certo trasformarsi in un fiume che straripa dal contenitore. Se il tuo risultato ti dà decine o centinaia di millilitri che fuoriescono, fermati: probabilmente hai sbagliato unità o hai confuso un coefficiente. Allo stesso modo, una variazione di densità di qualche punto percentuale è realistica; valori molto più alti indicano un errore di calcolo.

Un’altra difficoltà comune è interpretare il testo del problema. Spesso c’è scritto che il contenitore è “riempito fino all’orlo”. Questo dettaglio cambia tutto: significa che anche una piccola espansione porta al trabocco. Se invece fosse stato lasciato spazio libero, l’olio non sarebbe uscito. Allenati a notare queste frasi nascoste, perché fanno la differenza tra un calcolo corretto e uno completamente fuori strada.

Infine, non limitarti a scrivere il numero finale. Racconta cosa significa. Dire che traboccano 27 cm³ è corretto, ma aggiungere che si tratta di “circa due cucchiai di olio” aiuta a collegare il risultato a qualcosa di concreto. Dire che “la densità cala dell’1,4% perché il volume aumenta mentre la massa resta la stessa” ti obbliga a capire davvero il fenomeno. È questo il passaggio che distingue chi sta solo facendo i conti da chi sta imparando davvero la fisica.

2        Soluzione

2.1       Richiesta 1

Soluzione

Richiesta 1

Vale la seguente formula applicata al nostro caso:

\( V_{olio,30} =V_{olio,10} (1+\alpha_{olio} \Delta t)\)

In cui:

• \( V_{olio,30} \) è il volume dell’olio alla temperatura di 30°C
• \( V_{olio,10}\) è il volume dell’olio alla temperatura di 10°C
• \( \Delta t \) è la differenza tra temperatura iniziale e finale e quindi pari a 20°C
• \( \alpha_{olio}\) è il coefficiente di dilatazione volumica dell’olio, pari a \( 7.2 \cdot 10^{-4 \circ}C^{-1} \)

Sapendo che:

\(1L=1dm^3\)

Risulta chiaro che:

\(1L=1000cm^3\)

Di conseguenza si può dire che:

\(V_{olio,10°C}=2 \cdot 10^3 cm^3\)

Quindi:

\(V_{olio,10°C}=2 \cdot 10^3 cm^3 (1+7,2 \cdot^{-4}°C^{-1} \cdot 20°C)=2’028.8cm^3\)

E allora si ha che:

\( \Delta V_{olio}=V_{olio,30°C}-V_{olio,10°C}=28,8cm^3\)

Tuttavia, anche la bottiglia di vetro si dilata, e quindi:

\(V_{vetro,30°C}=V_{vetro,10°C}(1 + \alpha_{vetro} \Delta t)\)

In cui:

• \(V_{vetro,30°C} \) è il volume del vetro alla temperatura di \(30°C\)
• \(V_{vetro,10°C}\) è il volume del vetro alla temperatura di \(10°C\)
• \(\Delta t\) è la differenza tra temperatura iniziale e finale e quindi pari a \(20°C\)

\(\alpha_{vetro}\) è il coefficiente di dilatazione volumica del vetro, pari a \(3 \lambda\) in cui \( \lambda\) è il coefficiente di dilatazione lineare del vetro ed è pari a \(9 \cdot 10^{-6}°C^{-1}\)

Quindi:

\(V_{vetro,30°C}= 2 \cdot 10^3 cm^3 (1+3 \cdot 9 \cdot 10^{-6}°C^{-1} \cdot 20°C)=2’001.08cm^3\)

E allora si ha che:

\(\Delta V_{vetro,30°C}=V_{vetro,30°C} – V_{vetro,10°C} = 1,08 cm^3 \)

Il volume dell’olio traboccato sarà dato da:

\(V_{olio,traboccato}=\Delta V_{olio}- \Delta V_{vetro}=27,72cm^3\)

Richiesta 2

La richiesta del punto due è quella di calcolare:

\(\frac{\Delta d_{olio}}{d_{olio},10°C}\)

In cui:

• \( \Delta d_{olio}\) è la variazione di densità dell’olio d’oliva
• \( d_{olio,10°C}\) è la densità dell’olio d’oliva alla temperatura di \(10°C\)

Poiché:

\(d_{olio,10°C}=\frac{m_{olio,10°C}}{V_{olio,10°C}}\)

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