Telai piani con giunti: Soluzione completa (Isostatica DEKF + Iperstatica ABCDG, Metodo delle Forze e PLV)

Attenzione: prima di mostrare le soluzioni è stata fatta una corposa trattazione teorica per completezza. In caso in cui lo studente si senta di non doverla vedere può andare direttamente alle soluzioni. Tutte le soluzioni sono state simulate con calcolatore tramite programmazione delle condizioni matematiche che governano la struttura definita dall’esercizio.

1.1 Guida alla lettura (pensata per chi non conosce la materia)

Queste soluzioni sono scritte per essere accademicamente argomentate e quindi risultano più lunghe del “minimo indispensabile”. Se devi consegnare al docente una versione più breve, puoi cancellare (o riassumere) le parti marcate come “spiegazione/giustificazione”, mantenendo però: (i) la tabella struttura, (ii) i bilanci di equilibrio principali, (iii) l’impostazione PLV con associata/virtuale/compatibilità.

1.1.1 Che cosa vuole tipicamente il docente

Per esercizi su telai piani con giunti (cerniere/pattini), di solito si valutano:

Interpretazione corretta della struttura (vincoli, giunti, aste, carichi e verso dei segni).
Equilibri scritti in modo pulito (scelta dei poli dei momenti, uso delle condizioni forti ai giunti).
Diagrammi coerenti: forma qualitativa corretta (costante/lineare/parabolica) e zeri/continuità nei nodi imposti dai vincoli.
Per la parte iperstatica: metodo delle forze + PLV impostato senza ambiguità (associata, virtuale, compatibilità).

1.1.2 Convenzioni (uguali in tutto il documento)

Assi globali: \( +x\) verso destra, \(+y\) verso l’alto.
Momenti \(+M\) antiorario
Azioni interne su una sezione di asta \(N\) (assiale) , \(T\) (taglio), \(M\) (momento flettente). La convenzione di segno interna può variare tra testi; qui l’obiettivo è soprattutto la coerenza (stessa convenzione in equilibrio, diagrammi e PLV).

Nota sulla incognite cinematiche (importante per capire i vincoli): in un telaio piano, ogni nodo ha in generale 3 gradi di libertà:

u_x\ (\text{traslazione orizzontale}),\; u_y\ (\text{traslazione verticale}),\; \theta\ (\text{rotazione})

Un vincolo “impone” alcuni di questi valori (ad esempio \(u_x=0\) ) e le corrispondenti reazioni sono le forze/momenti necessari a far rispettare quei vincoli.

1.1.3 Glossario minimo (in parole semplici).

Cerniera a terra: blocca le due traslazioni \( (u_x=u_y=0) \) ma lascia libera la rotazione \( ( \theta \; \; libero) \). Reazioni: due forze \( (X,Y) \) nessun momento.
Guida / carrello su guida: blocca una traslazione (di solito quella normale alla guida) e lascia libera l’altra. Se inoltre è indicato “rotazione bloccata”, allora compare anche un momento vincolare.
Cerniera interna: collega due aste consentendo rotazione relativa. Conseguenza fondamentale: non trasmette momento tra i due lati, quindi \(M=0\) nel nodo di cerniera (controllo fortissimo per i diagrammi).
Pattino/prismatico interno: è un collegamento interno che permette scorrimento relativo lungo una direzione. Qui è usato per modellare “in D non passa forza orizzontale” e quindi \(H_D=0\).
Isostatica: struttura risolvibile con sole equazioni di equilibrio.
Iperstatica: servono anche compatibilità/deformabilità (metodo delle forze, PLV).
Isostatica associata (metodo delle forze): si “rimuove” un vincolo/reazione (l’incognita iperstatica) per rendere la struttura isostatica.
Problema virtuale (PLV): si applica un’azione unitaria nel grado di libertà coniugato all’incognita iperstatica, e si calcolano le azioni interne virtuali.
EA e EI: sono le rigidezze assiale e flessionale di un’asta (rispettivamente \(E \; A\) e \(E \; I) \), In molti telai la flessione domina (termine con \( EI \) ,Ma se serve rigore completo si mantiene anche l’assiale (termine con \( E \: A\).
“Flessione dominante”: è un’approssimazione spesso ammessa negli esercizi in cui il contributo assiale agli spostamenti è molto più piccolo del contributo flessionale; in PLV significa trascurare i termini con \(N\) e mantenere solo quelli con \(M\).

1.1.4 Come leggere i diagrammi “sullo scheletro”

I diagrammi allegati sono tracciati direttamente sullo schema (scheletro) della struttura:

la linea grigia è l’asta;
la “banda” colorata rappresenta l’andamento qualitativo dell’azione interna (non necessariamente in scala);

tipicamente rosso indica valore \( \geq 0 \) e blu valore \(<0\).

Quello che va controllato (anche senza numeri) è:

se c’è un carico distribuito: \(T\) deve variare lungo l’asta e \(M\) deve avere una curvatura (parabola \(q\) uniforme ):
se non c’è distribuito \(T\) deve essere costante a tratti e \(M\) lineare a tratti;
Nei nodi con cerniera: \(M\) deve annullarsi;
dove ci sono forze/coppie concentrate: sono ammissibili discontinuità/variazioni coerenti con l’equilibrio locale.

1.1.5 Procedura “da esame” (riutilizzabile in entrambi gli esercizi)

Trascrivi la figura in tabella struttura (vincoli, giunti, aste, carichi, verso dei segni).
Per la parte isostatica: separa in sottocorpi lungo le cerniere interne scrivi \( \sum F_x =0\) ; \( \sum F_y=0\), \( \sum M=0\) scegliendo i pli convenienti.
Disegna i diagrammi tratto-per-tratto usando: condizioni forti (cerniere/pattini) +relazioni locali \(dT/ds=-q,\) , \(dM/ds=T\).
Per la parte iperstatica: definisci l’incognita \(X\) , costruisci associata e virtuale, scrivi una sola equazione di compatibilità ben motivata.
Chiudi con controlli di coerenza (segni, zeri del momento, assenza di trasmissione dove imposta il pattino, ecc).

1.2 Esercizio

1.2.1 Testo esercizio

Si analizzi il telaio rappresentato in figura, calcolando innanzitutto le reazioni ai vincoli e tracciando i diagrammi di sforzo normale, taglio e momento flettente del sottosistema isostatico DEKF. In seguito, si esamini il sottosistema iperstatico ABCDG, adottando come incognita ridondante il momento vincolare in A.

Per la struttura associata (ottenuta rimuovendo tale momento), si richiede la determinazione delle reazioni e dei diagrammi N–T–M. Si proceda poi all’analisi del problema virtuale, applicando in A un momento unitario con verso orario. Infine, si imposti l’equazione di compatibilità mediante il Principio dei Lavori Virtuali (PLV).

Che cosa bisogna consegnare (in pratica). La traccia chiede, in ordine:

DEFK isostatica: reazioni e diagrammi \(N\), \(T\), \(M\), sul sottosistema destro (D-E-K-F).
ABCDG iperstatica con incognita \(M_A\):
isostatica associata: reazioni e diagrammi \(N, \; T, \; M\);
Problema virtuale: reazioni e diagrammi \(N\), \(T\), \(M\), applicando in A un momento unitario orario;
Impostazione PLV e compatibilità \( \theta (A)=0\).

Nota importante (per capire “perché DEKF viene prima”): il sottosistema DEKF fornisce le azioni di scambio al collegamento interno in D. In particolare:

il pattino in D filtra la trasmissione in \(x\) (quindi non si trasmette forza orizzontale attraverso D);
(tipicamente \(V_D\) e l’eventuale \(M_D\) );
quando DEKF è risolto, tali azioni diventano carichi noti per ABCDG con segno opposto (azione–reazione).

1.2.2 Tabella struttura

La seguente tabella esplicita come viene interpretata la struttura in questa soluzione. In particolare:

non esiste alcuna asta A–D;
la parte DEKF è una “L”: D–E + E–K–F, con cerniera interna in E;
in F c’è una cerniera a terra (blocca \(u_x\) , \(u_y\) , rotazione libera).

Oggetto	Tipo	Connettività	Vincolo / proprietà	Nota operativa
Nodi	Geometria	\(A,C,B,D,G,E,K,F\)	Coordinate come da parametrizzazione in \(L\)	vedi es3/simulazione_esercizio3.py
Aste sinistra (ACBG)	Telaio 2D	A–C, C–B, C–G (come C–D + D–G)	Nodo C rigido	non c’è A–D
Aste DEKF	Telaio 2D	D–E, E–K, K–F	Parte destra “a L”
Giunto in E	Cerniera interna	tra D–E e E–K	continuità traslazioni, \(M(E)=0\)
Collegamento in D	Pattino interno	tra sinistra e DEKF	continuità su \(u_y\) e \( \theta\) scorrimento relativo in \(u_x\)	no forza orizzontale attraverso D
Vincolo in A	Pattino a terra su guida	A	\(u_y=(A)=0\), \( \theta (A)=0\); ; \(u_x(A) \)= libero	nel PLV si rilascia solo \( \theta (A)\)
Vincolo in B	Cerniera a terra	B	\(u_x(B)=0 , u_y(B)=0\)	reazioni \(B_x\) , \(B_y\)
Vincolo in F	Cerniera a terra	F	\(u_x(B)=0 , u_y(F)=0\)	nessun momento vincolare
Carichi su DEKF	Esterni	E / KF	forza orizzontale in E verso sinistra \( (pL) \) , distribuito \(p\) su K–F	\(P=0\)
Carico su G	Esterno	G	coppia di modulo \( 3pL^2\) (verso come in figura; se si inverte, cambia il segno di \(M_G\) e di tutte le grandezze lineari in esso)	parametro –mg-sign

1.2.3 Teoria necessaria a risolvere l’esercizio

1.2.3.1 Parte isostatica DEKF

Cerniera in E: impone \(M(E)=0\).
Carico distribuito su K-F; imprime la forma tipica \(T\) lineare e \(M\) parabolico su quel tratto.
Pattino interno in D: non trasmette forza orizzontale tra i sottosistemi (vincolo “trasparente” in \(x\) ).

Metodo “accademico” per DEKF: si isola il sottosistema destro, si usa \( M(E)=0\) e si scrivono equilibri scegliendo poli che eliminino incognite (tipicamente momenti rispetto a E).

1.2.3.2 Parte iperstatica ABCDG (metodo delle forze + PLV)

Si sceglie come incognita iperstatica il momento in A \( X \equiv M_A\).

Isostatica associata: si rilascia la rotazione (si rende \( \theta (A) \) libero ) mantenendo \(u_y(A)=0\).

Virtuale: si applica un momento unitario in A con verso orario (con convenzione ” + antiorario”, significa applicare \( (M_{virt}=-1) \).

Compatibilità (struttura reale \( \theta (A) =0): \)

0 = \theta_A^{L} + M_A\,f_{AA} + \theta_A^{\mathrm{sett}}

Nel caso standard (quello tipicamente assegnato in traccia) non ci sono cedimenti imposti: quindi \( \theta_{A}^{sett}=0\). Se fossero presenti cedimenti di vincolo, il termine \( \theta_{A}^{sett}\) si calcola tramite reciprocità (Maxwell–Betti) e dipende dalla convenzione di segno adottata.

1.2.3.2.1 Spiegazione estesa (metodo delle forze con incognita \(M_A \)

Qui l’iperstaticità è “rotazionale”: nella struttura reale la rotazione in A è impedita (vale ). Per rendere il sistema isostatico nel metodo delle forze, si procede così:

per continuare a leggere la soluzione clicca qui sotto:

Metodo delle Forze – Telaio ABCDG (Modulo avanzato collegato a ES1)

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