Attenzione: prima di mostrare le soluzioni è stata fatta una corposa trattazione teorica per completezza. In caso in cui lo studente si senta di non doverla vedere può andare direttamente alle soluzioni. Tutte le soluzioni sono state simulate con calcolatore tramite programmazione delle condizioni matematiche che governano la struttura definita dall’esercizio.
1.1 Guida alla lettura (pensata per chi non conosce la materia)
Queste soluzioni sono scritte per essere accademicamente argomentate e quindi risultano più lunghe del “minimo indispensabile”. Se devi consegnare al docente una versione più breve, puoi cancellare (o riassumere) le parti marcate come “spiegazione/giustificazione”, mantenendo però: (i) la tabella struttura, (ii) i bilanci di equilibrio principali, (iii) l’impostazione PLV con associata/virtuale/compatibilità.
1.1.1 Che cosa vuole tipicamente il docente
Per esercizi su telai piani con giunti (cerniere/pattini), di solito si valutano:
- Interpretazione corretta della struttura (vincoli, giunti, aste, carichi e verso dei segni).
- Equilibri scritti in modo pulito (scelta dei poli dei momenti, uso delle condizioni forti ai giunti).
- Diagrammi \(N\) \(T\) \(M\) coerenti: forma qualitativa corretta (costante/lineare/parabolica) e zeri/continuità nei nodi imposti dai vincoli.
- Per la parte iperstatica: metodo delle forze + PLV impostato senza ambiguità (associata, virtuale, compatibilità).
1.1.2 Convenzioni (Uguali in tutto il documento)
- Assi globali: \(+x\) verso destra, e \(+y\) verso l’alto.
- Momenti \(+M\) antiorario.
- Azioni interne su una sezione di asta \(N\) (assiale), \(T\) (taglio), \(M\) (momento flettente). La convenzione di segno interna può variare tra testi; qui l’obiettivo è soprattutto la coerenza (stessa convenzione in equilibrio, diagrammi e PLV).
Nota sulle incognite cinematiche (importante per capire i vincoli): in un telaio piano, ogni nodo ha in generale 3 gradi di libertà
- \(u_x\) (traslazione orizzontale)
- \(u_y\) (traslazione verticale)
- \( \theta \) (rotazione).
Un vincolo “impone” alcuni di questi valori (ad esempio \(u_x = 0 \) ) e le corrispondenti reazioni sono le forze/momenti necessari a far rispettare quei vincoli.
1.1.3 Glossario minimo (in parole semplici)
- Cerniera a terra: blocca le due traslazioni ( \(u_x=u_y=0\) ) ma lascia libera la rotazione ( \( \theta\) libero). Reazioni: due forze \( (X,Y) \) nessun momento.
- Guida / carrello su guida: blocca una traslazione (di solito quella normale alla guida) e lascia libera l’altra. Se inoltre è indicato “rotazione bloccata”, allora compare anche un momento vincolare.
- Cerniera interna: collega due aste consentendo rotazione relativa. Conseguenza fondamentale: non trasmette momento tra i due lati, quindi \(M=0\) nel nodo di cerniera (controllo fortissimo per i diagrammi).
- Pattino/prismatico interno: è un collegamento interno che permette scorrimento relativo lungo una direzione. Qui è usato per modellare “in D non passa forza orizzontale” e quindi \(H_D=0\).
- Isostatica: struttura risolvibile con sole equazioni di equilibrio.
- Iperstatica: servono anche compatibilità/deformabilità (metodo delle forze, PLV).
- Isostatica associata (metodo delle forze): si “rimuove” un vincolo/reazione (l’incognita iperstatica) per rendere la struttura isostatica.
- Problema virtuale (PLV): si applica un’azione unitaria nel grado di libertà coniugato all’incognita iperstatica, e si calcolano le azioni interne virtuali.
- \(EA\) e \(EI\) sono le rigidezze assiale e flessionale di un’asta (rispettivamente \(E\) \(A\) e \(E\) \(I\) ). In molti telai la flessione domina (termine con \(EI\) ), ma se serve rigore completo si mantiene anche l’assiale (termine con \(EA\) ).
- “Flessione dominante”: è un’approssimazione spesso ammessa negli esercizi in cui il contributo assiale agli spostamenti è molto più piccolo del contributo flessionale; in PLV significa trascurare i termini con \(N\) e mantenere solo quelli con \(M\)
1.1.4 Come leggere i diagrammi “sullo scheletro”
I diagrammi allegati sono tracciati direttamente sullo schema (scheletro) della struttura:
- la linea grigia è l’asta;
- la “banda” colorata rappresenta l’andamento qualitativo dell’azione interna (non necessariamente in scala);
- Tipicamente rosso indica il valore \( \geqslant 0 \) e blu il valore \( < 0\)
Quello che va controllato (anche senza numeri) è:
- se c’è un carico distribuito: \(T\) deve variare lungo l’asta e \(M\) deve avere curvatura (parabola se \(q\) uniforme );
- se non c’è distribuito \(T\) deve essere costante a tratti e \(M\) lineare a tratti;
- nei nodi con cerniera \(M\) deve annullarsi
- dove ci sono forze/coppie concentrate: sono ammissibili discontinuità/variazioni coerenti con l’equilibrio locale.
Procedura ” da esame ” (riutilizzabile per entrambi gli esercizi)
- Trascrivi la figura in tabella struttura (vincoli, giunti, aste, carichi, verso dei segni).
- Per la parte isostatica separa i sottocorpi lungo le cerniere interne; scrivi: \( \sum F_x=0 \; \sum F_y=0 \; \sum M =0\). scegliendo poli convenienti.
- Disegna i diagrammi tratto-per-tratto usando: condizioni forti (cerniere/pattini) + relazioni locali \(dT / \; ds= -q , \; \; \; dM / \; ds=T\).
- Per la parte iperstatica: definisci l’incognita \(X\) costruisci associata e virtuale, scrivi una sola equazione di compatibilità ben motivata.
- Chiudi con controlli di coerenza (segni, zeri del momento, assenza di trasmissione dove imposta il pattino, ecc.).
Esercizio 1
1.2.1 Testo esercizio
Dato il telaio mostrato in Figura 1, calcolare le reazioni ai vincoli e tracciare i diagrammi di sforzo normale, taglio e momento flettente per il sottosistema isostatico DEFG. In seguito, esaminare il sottosistema iperstatico ACBD adottando il metodo delle forze, scegliendo come incognita ridondante la reazione verticale in A.
Per la struttura associata (ottenuta rimuovendo tale reazione), determinare reazioni e diagrammi N–T–M. Ripetere l’analisi per il problema virtuale, applicando in A una forza unitaria verso l’alto (incognita iperstatica posta pari a 1). Infine, impostare l’equazione di compatibilità tramite il Principio dei Lavori Virtuali (PLV).
Che cosa bisogna consegnare (in pratica). La traccia chiede, in ordine:
- DEFG isostatica: reazioni del sottosistema e diagrammi \(N\) \(T\) \(M\), su DE, EF, FG.
- ACBD iperstatica (metodo delle forze con incognita \(A_y\) ) ;
- (i) isostatica associata: reazioni e diagrammi \(N, \; T , \; M\);
- Problema virtuale: \( ( \hat{X} \; = \; 1 \; verso \; l’alto \; in \; A ) \): reazioni e diagrammi \(N,T,M\);
- (iii) impostazione PLV: integrali + equazione di compatibilità (con eventuale termine di cedimento \( \delta\).
Nota importante: la parte DEFG e la parte ACBD comunicano tramite il collegamento interno in D. Quindi, chiuse le reazioni su DEFG, le azioni di scambio in D (in particolare \(V_D\) e l’eventuale \(M_D\) ). Diventano “carichi noti” per l’altra sottostruttura, con segno opposto (azione–reazione).
Figura (screen/schematizzazione della traccia).
Chiarimento fondamentale:
Se B è una cerniera a terra, allora blocca la traslazione orizzontale: \(U_x=0\).
Il simbolo \( \delta\) vicino a B indica un cedimento imposto dal vincolo in verticale: non è uno spostamento “libero”, è un dato.
Quindi, nella lettura accademica coerente con “B cerniera”, le condizioni cinematiche sono:
1.2.2 Tabella struttura
Questa tabella fissa una volta per tutte cosa si intende per “struttura di Figura 1” in questa soluzione (vincoli, giunti, aste e carichi), così che testo e diagrammi siano coerenti.
1.2.2.1 Nodi e coordinate (con \(L\) come unità di lunghezza)
| Nodo | Coordinate \(x,y\) |
| A | (0,0) |
| C | (L,L/2) |
| B | (L,3L/2) |
| D | (2L, L/2) |
| E | (2L, 3L/2) |
| F | (3L, 3L/2) |
| G | (3L,5L/2) |
1.2.2.2 Aste (telaio piano, 3 DOF/nodo)
| Asta | Collegamento | Tipo |
| AC | A–C | asta di telaio (EA, EI) |
| CB | C–B | asta di telaio (EA, EI) |
| CD | C–D | asta di telaio (EA, EI) |
| DE | D–E | asta di telaio (EA, EI) |
| EF | E–F | asta di telaio (EA, EI) + \(q\) uniforme |
| FG | F–G | asta di telaio (EA, EI) |
1.2.2.3 Vincoli esterni
| Punto | Vincolo | Condizioni cinematiche imposte | Reazioni |
| A | cerniera a terra | \(u_x=0\) \(u_y=0\), \( \theta \) libero | \(A_x , A_y\) |
| B | cerniera a terra con cedimento verticale | \(u_x(B) = 0\) , \(u_y(B)= \delta \) ; \( \theta\) libero | \(B_x, B_y\) |
| G | guida verticale con rotazione bloccata | \(u_x=0, \theta =0\) ; \(u_y\) libero | \(G_x\) ; \(M_G\) |
1.2.2.4 Giunti interni
| Punto | Giunto | Conseguenza meccanica |
| D | pattino/prismatico con scorrimento lungo | continuità di \(u_y\) e \( \theta\) tra i due corpi; \( H_D=0\) |
| E | cerniera interna | continuità delle traslazioni; rotazioni indipendenti; \( M(E)=0\) |
1.2.2.5 Carichi assegnati (convenzione \(+M\) antiorario).
| Dove | Carico | Verso/segno |
| C | momento concentrato \(M_c=pL^2\) | orario in figura \( \rightarrow M_c=-pL^2\) |
| E | forza orizzontale \(2pL\) | verso sinistra \( \rightarrow F_{x,E}\) = \(-2pL\) |
| EF | carico distribuito uniforme \(q\) | verso il basso ( \( q=q_{factor} \cdot p \) nei parametri di esempio) |
1.2.3 Teoria necessaria a risolvere l’esercizio
Questa sezione serve a rendere la soluzione rigorosa: ogni risultato deve essere motivato tramite (i) equilibrio, (ii) condizioni cinematiche/di giunto, (iii) PLV/reciprocità per la parte iperstatica.
1.2.3.1 Equilibrio nel piano
Per ogni corpo (o sottosistema) in equilibrio nel piano:
Per ogni corpo (o sottosistema) in equilibrio nel piano:
\( \sum F_x=0 \; \; \sum F_y=0 \; \; \sum M_0=0\)
Scegliere un polo conveniente per i momenti è lecito e spesso riduce il rischio di errori di segno. Giustificazione: in equilibrio \( \sum F=0\) e quindi il momento risultante è indipendente dal punto di riduzione; scegliere un polo che annulla termini (forze passanti per il polo) è un’operazione corretta e robusta.
1.2.3.2 Azioni interne e relazioni locali (diagrammi)
Sulle aste si considerano le risultanti interne: \(N\) (assiale), \(T\) (taglio), \(M\) (momento).
Se un tratto con carico distribuito \(q(s)\), con una convenzione coerente, valgono le relazioni locali:
\( \frac{dT}{ds}= -q (s); \; \; \; \; \frac{dM}{ds}= T(s)\)
Conseguenze pratiche (qualitative):
- Se \(q=0\) su un tratto: \(T\) costante, \(M\) lineare;
- Se \(q\) uniforme: \(T\) lineare, \(M\) parabolico.
Come si “disegnano” i diagrammi senza numeri (metodo standard):
- si calcolano prima le reazioni esterne del sottosistema;
- si taglia l’asta e si scrive l’equilibrio della porzione isolata;
- si impongono le condizioni forti ai nodi (es. cerniera \( \rightarrow M =0) \);
- Si usa \( dT / ds= -q e \; \; DM/ds = T\) per riconoscere la forma (costante/lineare/parabolica).
1.2.3.3 Condizioni “forti” imposte dai giunti
- Cerniera interna in \(E: M(E)= 0\) (il diagramma dei momenti deve passare per lo zero in E su entrambi i lati).
- Pattino in D con scorrimento lungo \(x:H_D=0\) (nessuna trasmissione di forza orizzontale attraverso D).
Giustificazione fisica:
- una cerniera ideale consente rotazione relativa \( \rightarrow\) non può trasmettere coppie \( \rightarrow M(E) =0\).
- Un pattino ideale senza attrito consente scorrimento lungo \(x\) \( \rightarrow\) non può trasmettere forza lungo \(x \rightarrow H_D=0\).
Metodo delle forze + PLV (parte ACBD)
- La parte ACBD è iperstatica e si risolve scegliendo come incognita \(X \equiv A_y\).
- Si costruisce l’isostatica associata rimuovendo \(A_y\)
- Si risolve il problema virtuale applicando in A una forza unitaria \( \hat{X}=+1\) verso l’alto.
- Si impone la compatibilità sul grado di libertà in A:
1.2.3.4.1 Spiegazione del perché l’equazione di compatibilità è proprio questa
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