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1 Testo D’esame
Si consideri un modello di crescita tumorale descritto da una legge di Gompertz con un termine di kill farmacologico costante. La massa tumorale \(T(t)\) (numero di cellule) evolve secondo l’equazione differenziale ordinaria:
\( \frac{dT}{dt}=r T(t) ln ( \frac{K}{T(t)}) – \gamma T (t)\).
Dove \(r> 0\) è il tasso di crescita intrinseco, \(K > 0\) è la capacità portante (massimo livello di cellule che il sistema può sostenere e \( \gamma > 0\) rappresenta un effetto di terapia farmacologica continua proporzionale alla massa tumorale. Si supponga che al tempo iniziale \(t=0\) la massa tumorale sia \(T(0) = T_0\) con \( 0<T_0 <K \).
innanzitutto bisogna dimostrare che, introducendo la variabile \( x(t)=ln T(t)\), L’equazione precedente si trasforma in una equazione differenziale lineare del primo ordine in \(x(t)\) e di risolvere esplicitamente tale equazione ricavando la formula chiusa di \(T(t)\) in funzione del tempo e dei parametri \(r, K, \gamma \; e \; T_0\).
Si chiede poi di studiare il comportamento asintotico della soluzione, determinando il valore del limite \(T_{ \infty}= \lim_{t \to \infty} T(t)\), e discutendo sulla base di questa espressione esplicita, come varia qualitativamente l’esito della terapia al variare del parametro \( \gamma\) terapia debole, terapia moderata, terapia molto intensa).
Infine..
si richiede di scrivere uno script Python, utilizzando il metodo di Eulero esplicito, che simuli numericamente questa equazione differenziale su un intervallo di tempo, ad esempio \( :t \in[0,200],\)
per due valori distinti del parametro \( \gamma \) ad esempio \( \gamma_{1}=0.1\) e \( \gamma_{2}=1.0\) e produca un grafico di \(T(t)\) in scala logaritmica in cui il comportamento numerico ottenuto sia confrontabile con le previsioni analitiche sul limite \( T_{ \infty}\) .
2 Consigli di problem solving
Quando si affronta un esercizio di questo tipo, la strategia migliore è sempre quella di individuare immediatamente la struttura dell’equazione e capire quale trasformazione la rende più semplice. L’equazione di Gompertz in forma diretta è poco maneggevole, perché contiene un logaritmo dipendente dalla variabile incognita; tuttavia, riconoscere che l’intera dinamica è proporzionale a \(T\) che il logaritmo compare come in \(T\) suggerisce in modo quasi naturale di introdurre il logaritmo della variabile come nuova incognita.
Questa mossa, che spesso gli studenti esitano a fare perché sembra “cambiare troppo la variabile”, è invece esattamente il passaggio che trasforma un problema complicato in uno estremamente lineare. Un buon approccio consiste nel fermarsi un attimo e chiedersi: “se definisco \(x= ln \; T\) , come si semplifica l’espressione?
Il fatto che \(T’=Tx’\) rende la trasformazione particolarmente elegante: la non linearità sparisce e resta un’equazione lineare elementare. Un errore molto comune è sbagliare i segni, soprattutto nella parte in cui si manipola \(ln (K/T) \). Molti studenti finiscono per scrivere \( ln (T/K)\) oppure cambiano il segno davanti a \(x\) senza accorgersene; questo altera completamente la struttura dell’equazione e porta a soluzioni errate. È sempre utile ricontrollare la piccola identità \( ln (K/T)\) =\( ln \; K \; – \; ln \; T\) che è l’unico passaggio veramente sensibile dell’intera manipolazione. Un altro problema ricorrente è la gestione del fattore integrante.
Alcuni studenti..
ricordano la formula a memoria, ma non la riconoscono nel contesto, e soprattutto non notano che il lato sinistro diventa la derivata esatta del prodotto tra \( e^{rt} \; e \; x (t)\).
Ogni volta che si usa il metodo del fattore integrante, conviene sempre verificare a mano la derivata del prodotto per evitare errori meccanici. Se si riconosce correttamente questa struttura, l’equazione si risolve in tre righe. Se non la si riconosce, diventa un incubo. Anche nel passaggio finale, quando si ritorna alla variabile \(T\) è fondamentale ricordarsi che l’esponenziale di una somma diventa il prodotto degli esponenziali. Molti studenti lasciano la soluzione nella forma \(T(t)=exp(roba)\) senza semplificarla, e poi non riescono a vedere il comportamento asintotico. La forma finale ordinata è essenziale perché rivela immediatamente chi è il termine che sopravvive quando \(t \rightarrow \infty \) e che invece si spegne. È proprio da questa forma “pulita” che si legge il valore limite \(T_{ \infty }=ke^{-y/r}\). che è il centro concettuale dell’esercizio.
Dal punto di vista interpretativo
Un errore concettuale molto diffuso è credere che il termine terapeutico \( \gamma\) possa portare la massa tumorale esattamente a zero. Il modello Gompertz, con kill proporzionale, non permette mai un’estinzione completa in tempo finito, ma solo un avvicinamento asintotico. Questo è un punto importante sia matematicamente sia nella sua interpretazione biologica: i modelli di tipo Gompertz esprimono un equilibrio dinamico più che un’eradicazione immediata, e il valore di equilibrio dipende delicatamente dal rapporto \( \gamma /r\).
Infine, per quanto riguarda la parte Python, gli studenti spesso sbagliano per motivi puramente numerici. Il metodo di Eulero è semplice ma non è particolarmente stabile: se il passo \( \Delta t\) è troppo grande, la soluzione numerica può oscillare o addirittura diventare negativa.
Se succede, non è un errore del modello, ma del metodo numerico. Conviene sempre usare un passo sufficientemente piccolo e ricordarsi che, quando la soluzione deve rimanere positiva, occorre gestire con cura il logaritmo: se \(T\) diventa anche solo debolmente negativo per un errore numerico, il logaritmo smette di avere senso. Un approccio prudente consiste nel forzare un minimo tecnico o nel ridurre ulteriormente il passo temporale. Anche il confronto con il valore teorico del limite \(T_{ \infty }\) è un ottimo modo per capire se la simulazione sta andando nella direzione giusta.
L’approccio mentale corretto, per tutta la durata dell’esercizio, è sempre lo stesso: prima identificare la struttura dell’equazione, poi trasformarla nel modo più naturale, poi risolvere la versione semplificata, poi interpretare la soluzione ottenuta, infine verificare numericamente che tutto sia coerente. Uno studente che segue questo schema con calma e disciplina arriva alla soluzione senza particolari difficoltà.
1 Soluzione
Partiamo dalla forma originale del modello. L’equazione differenziale è:
Qui compaiono due elementi, il termine gompertziano \( r \; T \; ln (K/T)\) che tende a far crescere il tumore ma in modo rallentato man mano che si avvicina a \( K\) , e il termine \( – \gamma T\) che rappresenta la terapia e che agisce come una “morte proporzionale” continua.
Questa equazione è non lineare rispetto a \(T\) perché compare il logaritmo di \(T\). Un trucco classico per i modelli di Gompertz consiste nel lavorare nel logaritmo della variabile se passiamo a \(x(t)= ln \; T (t)\) la non linearità in realtà si semplifica parecchio.
Definiamo quindi:
\(x(t)=ln \; T(t)\)
Questa definizione implica che \(T(t)=e^{x(t)}\). Derivando rispetto al tempo, usiamo semplicemente la derivata dell’esponenziale:
Quindi possiamo riscrivere il lato sinistro dell’ODE come \(T \; x’\). Sostituiamo questa espressione nella nostra equazione differenziale:
Notiamo che ogni termine contiene un fattore \(T (t)\). Dal momento che \(T(t)>0 \) (stiamo modellando un numero di cellule) possiamo dividere entrambi i membri per \(T(t)\) senza problemi:
\( x'(t)=r \; ln ( \frac{K}{T(t)}) – \gamma \).
A questo punto sfruttiamo il fatto che \(T(t)=e^{x(t)}\) quindi \(ln \; T(t)=x(t)\). La quantità \(ln ( \frac{K}{T}) \) diventa:
\( \ln \left(\frac{K}{T(t)}\right)=\ln K-\ln T(t)=\ln K-x(t) \)
Sostituendo, si ottiene
\( x'(t)=r(ln \; K -x(t))- \gamma = r \; ln K – r \; x (t)- \gamma \)
Riorganizziamo questa equazione portando il termine in \( x(t)\) a sinistra:
\( x'(t)+rx(t)=r \; ln \; K- \gamma \)
Questa è una equazione differenziale lineare del primo ordine nella forma standard:
\( x'(t)+ax(t)=b\)
Dove in questo caso \(a=r\; e \; b =r \; ln \; K- \gamma\) entrambi costanti. Questo è esattamente il tipo di equazione che si risolve con il metodo del fattore integrante.
Per risolverla, cerchiamo una funzione \( \mu (t)\) che renda il lato sinistro una derivata di un prodotto. Per l’equazione \( x’+rx= r \; ln \; K- \gamma\) il fattore integrante è:
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