Analisi della Dinamica Libera e delle Caratteristiche Temporali di un Sistema LTI di Terzo Ordine

Testo

Consideriamo il seguente sistema dinamico descritto da un’equazione differenziale ingresso–uscita:

\( y^{(3)}(t) +y^{(2)}(t)+2′(t)=u'(t)+6u(t)\)

Si richiede di:

1. determinare i modi naturali del sistema e i relativi parametri caratteristici;
2. analizzare la stabilità dei modi e stimare i tempi di assestamento;
3. identificare quale modo è il più lento e quale è il più veloce.

Consigli di problem solving

Quando si studia un sistema descritto da un’equazione differenziale lineare a coefficienti costanti, la prima distinzione da fare è tra evoluzione libera ed evoluzione forzata.
L’evoluzione libera rappresenta ciò che il sistema fa da solo, in assenza di ingresso: è il comportamento intrinseco della dinamica.
L’evoluzione forzata, invece, rappresenta la risposta dovuta a un ingresso esterno.

Questa distinzione è fondamentale perché la struttura dell’evoluzione libera dipende unicamente dalla posizione delle radici del polinomio caratteristico, cioè dai poli del sistema. Non dipende dall’ingresso e non dipende dal tipo di condizione iniziale scelta: queste intervengono solo più tardi, nel determinare quanto ciascun modo partecipa alla risposta.

Per questo motivo, quando si imposta un esercizio, si pone inizialmente l’ingresso uguale a zero. Questo non è un arbitrio, ma un modo per isolare la struttura fondamentale del sistema.
L’equazione si riduce così a un’equazione omogenea. Cercare soluzioni della forma significa trasformare il problema da differenziale ad algebrico, portando a costruire quello che chiamiamo polinomio caratteristico.

La teoria ci dice che:

• ad ogni radice reale del polinomio caratteristico corrisponde un modo aperiodico, cioè un’evoluzione che non oscilla.
  Se la parte reale è negativa, tale modo si estinge; se è positiva, diverge; se è nulla, rimane costante.
  Questo legame tra segno della parte reale e stabilità è una conseguenza diretta del fatto che decresce solo se .
• ad ogni coppia di radici complesse coniugate corrisponde invece un modo pseudoperiodico, cioè un’oscillazione modulata da un esponenziale.
  Qui la parte reale della radice determina la velocità di smorzamento, mentre la parte immaginaria determina la frequenza dell’oscillazione.
  L’inviluppo esponenziale e il termine trigonometrico non sono elementi separati, ma componenti inseparabili di un’unica dinamica complessa che oscilla e si estingue allo stesso tempo.

Questa classificazione non è un artificio: è il cuore della teoria dei sistemi dinamici lineari.
In altre parole, la posizione delle radici nel piano complesso è ciò che determina completamente la natura del movimento del sistema nel tempo.

Se rappresentiamo le radici nel piano complesso, interpretare la dinamica diventa geometrico:

• più le radici si trovano a sinistra (parte reale negativa), più il sistema si estingue rapidamente.
• se una radice è sull’asse immaginario (parte reale zero), il sistema non torna mai esattamente allo stato di quiete.
• se una radice si sposta a destra (parte reale positiva), la dinamica esplode.

Questo fornisce un criterio di stabilità esatto e generale:

Un sistema è asintoticamente stabile se e solo se tutte le radici del polinomio caratteristico hanno parte reale strettamente negativa.

Non serve tracciare grafici. Non serve calcolare la risposta. Basta osservare la parte reale dei poli.

Un altro principio teorico essenziale riguarda la multiplicità delle radici. Se una radice è semplice, il modo associato è “puro”. Se una radice è multipla, compaiono fattori di potenza in : .
Questo non è un dettaglio tecnico: significa che sistemi con poli multipli reagiscono nel tempo in modo qualitativamente diverso, mostrando transitori più lenti e curve meno “semplici” da interpretare.
Molti errori nascono dal trattare radici multiple come se fossero semplici.

Infine, le condizioni iniziali non servono a “costruire la forma della risposta”: servono soltanto a determinare I pesi con cui ciascun modo contribuisce alla risposta complessiva.
Prima si riconoscono i modi, poi si determinano I coefficienti.
Invertire l’ordine significa non distinguere struttura dinamica da adattamento allo stato iniziale.

        Soluzione

      Individuazione dei modi e parametri caratteristici

Partiamo dal sistema:

\( y^{(3)}(t) +y^{(2)}(t)+2′(t)=u'(t)+6u(t)\)

Per individuare i modi del sistema dobbiamo studiare l’evoluzione libera, cioè capire che forma assume la risposta del sistema in assenza di ingresso. Questo non è un dettaglio tecnico, ma un’idea fondamentale: l’evoluzione libera mostra come il sistema si muove “di suo”, per effetto della sua struttura interna, indipendentemente da ciò che gli viene applicato dall’esterno. Tutto ciò che dipende dall’ingresso verrà aggiunto dopo tramite convoluzione, ma la forma dei modi è determinata esclusivamente dalla dinamica interna.

Dunque, poniamo u(t)=0, ottenendo l’equazione omogenea:

\(y^{(3)}(t)+y^{(2)}(t)+2′(t)=0\)

Sostituendo, otteniamo il polinomio caratteristico:

\(P(s)=s^3+s^2+2s=s(s^2+s+2)\)

Le radici di questo polinomio sono i poli, cioè i valori di che determinano la forma della risposta libera. Una radice è immediata \(s=0\)

Le altre si ottengono risolvendo:

\(s^2+s+2=0 \rightarrow s= \frac{-1 \pm \sqrt{1-8}}{2}=- \frac{1}{2} \pm j \frac{ \sqrt{7}}{2}\)

Numericamente:

\(s_{2,3} \approx -0.5 \pm \; j \; 1.323 \)

A questo punto la teoria ci dice esattamente cosa aspettarci:

La radice reale \(s=0 \; \) genera un modo aperiodico costante, cioè una componente che non decresce e non cresce, ma rimane fissa nel tempo. È la manifestazione tipica della presenza di un integratore interno nella dinamica.

La coppia complessa con parte reale negativa genera una oscillazione smorzata, cioè una vibrazione che progressivamente perde ampiezza e tende a spegnersi.

La forma completa del modo complesso è:

\(e^{-0,5t}=(B \; cos(1.323t)+ C \; sin (1.323t))\)

Oppure in forma più compatta:

\(A e^{-0,5t}cos (1.323t + \phi ) \)

Dove \(A\) e \( \phi\) dipendono solo dalle condizioni inziali.

È importante comprendere il ruolo dei parametri..

per continuare a leggere l’articolo clicca qui sotto:

Analisi della Dinamica Libera e delle Caratteristiche Temporali di un Sistema LTI di Terzo Ordine

Ti è stato utile questo articolo sul sistema LTI?

Oltre a questo articolo sul sistema LTI , non perdere l’occasione di migliorare le tue conoscenze e ottenere risultati eccellenti. Contattaci ora per verificare la disponibilità e prenota la tua lezione privata su Esercizi Svolti per eccellere nelle materie scientifiche, da qualsiasi luogo con una connessione internet! LEZIONI PRIVATE \( \rightarrow \) CLICCA QUI

Oltre a questo articolo sul sistema LTI ti consigliamo..

Di visitare il nostro negozio, dove puoi acquistare altri file in formato word per integrare i tuoi appunti. \( \rightarrow \) CLICCA QUI