1        Testo

Il candidato modelli le equazioni della dinamica di un’asta omogenea di lunghezza 𝐿 e massa 𝑚, incernierata a una estremità. Si assuma assenza di attrito al vincolo e assenza di forze esterne diverse dal peso proprio dell’asta. Mostrare i passaggi che portano alla determinazione del momento di inerzia rispetto alla cerniera e ricavare l’equazione del moto.

2        Consigli utili

Quando affronti problemi di dinamica dei corpi rigidi, il consiglio principale è partire sempre da un disegno semplice che rappresenti l’asta, i vincoli e le forze applicate. Questo ti aiuta a visualizzare subito quali sono i gradi di libertà e quale variabile descrive il moto, evitando confusione nei passaggi successivi. Una volta scelto un sistema di riferimento e stabilita la convenzione per l’angolo, puoi applicare con ordine le leggi fondamentali, come il calcolo del momento delle forze rispetto alla cerniera e la seconda legge della dinamica rotazionale.

Un altro passo importante è il controllo finale del risultato. Verifica che le unità di misura siano corrette, valuta cosa succede in condizioni limite (per esempio per piccoli angoli) e confronta con casi simili già noti. Questi controlli rapidi non solo riducono gli errori, ma ti insegnano un metodo replicabile: schematizza, imposta le equazioni, risolvi e poi valida il risultato.

Errori frequenti riguardano il segno del momento, spesso preso positivo senza verificare la regola del prodotto vettoriale, e la posizione del centro di massa, che va posta a metà dell’asta e non all’estremità. Un’altra svista comune è calcolare il momento d’inerzia come se l’asta ruotasse attorno al suo baricentro, invece che attorno alla cerniera.

3        Soluzione

Supponiamo di avere una asta di lunghezza \(L\) incernierata a terra. Un’asta incernierata a terra ha un solo grado di libertà, perché può ruotare solo intorno alla cerniera.

Nell’immagine a seguire viene rappresentata un’asta incernierata a terra, di cui il centro di massa è rappresentato con un simbolo di un cerchio giallo e nero.

Supponiamo inizialmente che l’asta sia libera di ruotare, senza alcuna forza opposta e senza alcun attrito. Il momento alla cerniera sarà dato dalla forza peso moltiplicata per la sua distanza dall’origine, come deducibile dalla figura.

Perciò, chiamate \((X_{COM},Y_{COM})\) le coordinate del centro di massa, si avrebbe:

\(M_{COM}=-X_{COM}F_P\)

In cui:

• \(M_{COM}\) è il momento generato del centro di massa dell’asta;
• \(X_ {COM}\) è la coordinata di \(x\) del centro di massa dell’asta;
• e \(F_p\) è la forza peso dell’asta, supposta concentrata sul suo centro di massa.

Considerando che il centro di massa di un’asta omogenea si trova esattamente a metà della sua lunghezza, possiamo scrivere che \(X_{COM}= \frac{L}{2} \cdot cos( \theta) \), dove \( \theta \) rappresenta l’angolo che l’asta forma con l’assa delle \(x\).

Applicando la seconda legge della dinamica rotazionale, il momento risultante rispetto alla cerniera è uguale al prodotto tra il momento d’inerzia dell’asta rispetto al punto fisso e l’accelerazione angolare:

\(M_{\text {COM }}=I \alpha\)

in cui:

• Dove dove \(I\) rappresenta il momento di inerzia dell’asta rispetto all’asse di rotazione fissato nella cerniera;
• mentre \( \alpha\) è l’accelerazione angolare. Il calcolo esplicito del momento di inerzia dipende dalla distribuzione di massa e dalla geometria dell’asta.

Per un’asta sottile e omogenea che ruota attorno a un’estremità, il momento di inerzia rispetto all’asse perpendicolare che passa per la cerniera si ottiene integrando la distanza al quadrato di ciascun elemento di massa dall’asse stesso, lungo tutta la lunghezza dell’asta.

Il momento di inerzia si calcola tramite l’utilizzo dell’integrale:

\(I = \int \int \int \rho r^2 dV\)

Che, nel nostro caso è semplicemente un integrale doppio, perché consideriamo che l’asta non abbia estensione 3D. Quindi:

\(I = \int \int \rho r^2 dS\)

Siccome poi l’asta si può ridurre a un’estensione lungo il suo asse principale, potremmo dire che:

\(I = \int pl^2 dl\)

Siccome l’asta è lunga L si dovrebbe calcolare:

\(I= \int^L_0 \rho dl\)

Di cui \(r\) segue la legge di distanza dal centro di rotazione. Siccome si suppone \( \rho\) constante si ha:

\(I=\rho \int_0^L l^2 d l=\rho\left[\frac{l^3}{3}\right]_0^L=\rho \frac{L^3}{3} \)

In questo caso \( \rho \) diventa una densità lineare, quindi:

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