Testo

Consideriamo una sfera elastica di massa 0,520 kg, lanciata contro un piano orizzontale. Una telecamera ad alta velocità misura le seguenti velocità:

• Prima del contatto: velocità di modulo 3,00 m/s, diretta verso destra e in discesa, formando un angolo di 40° con l’orizzontale.
• Dopo il rimbalzo: velocità di modulo 2,05 m/s, ancora verso destra ma ora in salita, formando un angolo di 70° con l’orizzontale.

Le richieste sono le seguenti:

• Calcolare il vettore quantità di moto \( ( \overrightarrow{p}) \) prima e dopo l’urto.
• determinare il modulo della variazione della quantità di moto \( ( \ || \Delta \overrightarrow{p}||)\)

Ipotesi: effetti dell’aria e rotazioni trascurabili; si assume un riferimento con l’asse x orientato verso destra e l’asse y verso l’alto.

Soluzione

• \( \overrightarrow{v}_A\) vettore di velocità associato al pallone prima dell’urto
• \( \overrightarrow{v}_B\) vettore di velocità associato al pallone dopo dell’urto

Un errore tipico di chi studia è credere che, in un rimbalzo, basti cambiare il segno della velocità verticale. Questa è un’illusione di simmetria: funziona solo negli urti perfettamente elastici con angoli uguali, non nel caso reale in cui i moduli cambiano.

La quantità di moto si calcola come segue:

\( \overrightarrow{p}=m \cdot \overrightarrow{v}\)

Dal punto di vista psicologico, molti studenti semplificano troppo e pensano che la quantità di moto sia “solo un numero”. In realtà è un vettore, e dimenticare direzione e verso significa perdere metà dell’informazione.

Quindi, a rigor di logica, la quantità prima dell’urto sarà pari a:

\( \overrightarrow{p}_A= m \cdot \overrightarrow{v}_A\)

So che:

\( || \overrightarrow{p}_A ||= m \cdot || \overrightarrow{v}_A || = 0.52 kg \cdot 3 \frac{m}{s} = 1.56 kg \frac{m}{s}\)

Un’altra trappola cognitiva comune è arrotondare troppo presto i numeri intermedi. La fretta porta a ridurre le cifre decimali per comodità, ma questo si accumula e può alterare il valore finale di .

Facciamo ora un passo indietro e definiamo il vettore velocità e anche il vettore quantità di moto. Ricordiamo che un vettore nel piano è SEMPRE rappresentata da una doppietta di valori.

Un modo di rappresentare il vettore è questo:

\( \vec{v}_A=\overrightarrow{v}_{A_x}+\overrightarrow{v}_{A y}=v_{A_x} \vec{\imath}+v_{A_ y} \vec{\jmath}\)

In cui \( \vec{\imath} \) è il versore (vettore di lunghezza unitaria) che sta sull’asse \(x\) e invece \(\vec{\jmath} \) e il versore che sta sull’asse \(y\). Spesse volte il versore viene indicato come segue: \(\hat{l} \).

Calcoliamo il vettore:

Per chiarire ulteriormente, ogni componente del vettore velocità corrisponde al contributo del moto lungo uno degli assi ortogonali, e solo la combinazione di entrambi restituisce la reale traiettoria e il valore fisico osservato. Adottare questa rappresentazione permette di evitare fraintendimenti, soprattutto quando si affrontano angoli non allineati agli assi cartesiani. È pratica comune, per esempio, nei problemi di fisica, tradurre grandezze date in forma scalare nella loro rappresentazione vettoriale, così da poter sfruttare appieno la loro natura bidimensionale.

Oppure tramite coordinate:

\( \overrightarrow{v}_{A}= (v_{A_x}; v_{A_y})\)

Qui spesso nasce confusione: la mente tende a invertire seno e coseno per abitudine scolastica. È un tipico errore da ansia da formula pronta, in cui si applica la regola standard senza controllare da quale asse l’angolo è misurato.

Calcoliamo il vettore:

Cerchiamo ora di capire la quantità di moto quanto vale:

\( \overrightarrow{p}_A= (m || \overrightarrow{v}_A || \cdot sin \; 40° ; -m || \overrightarrow{v}_A || \cdot cos \; 40°)\)

\( \approx ( 0.52 kg \cdot 1.928362829 \frac{m}{s} ; -0.52 kg \cdot 2.298133329 \frac{m}{s}) \)

\( \approx (1.002748671kg \cdot \frac{m}{s} ; -1.195029331kg \cdot \frac{m}{s}) \)

La quantità di moto, come si osserva, risulta essere un vettore che cambia sia per modulo sia per direzione durante il processo considerato. È importante sottolineare come, nei passaggi di calcolo, la corretta gestione dei segni e delle componenti sia fondamentale per evitare errori di interpretazione fisica. Infatti, il vettore quantità di moto racchiude tutte le informazioni sulla dinamica dell’oggetto: la sua direzione indica il verso del movimento, mentre il modulo rappresenta l’intensità dell’impulso posseduto dal corpo. Attraverso la scomposizione in componenti, è possibile esaminare in dettaglio il contributo di ciascun asse e avere così una visione chiara delle cause e degli effetti delle variazioni osservate.

Di questo calcoliamo:

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Calcolo della quantità di moto in un rimbalzo

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