Il primo esercizio della prova di matematica dell’Esame di Maturità 2024 propone un classico studio di funzione, con continuità, derivabilità e analisi del punto stazionario. In questo articolo risolviamo passo dopo passo il punto A, guidandoti nella comprensione delle regole fondamentali dell’analisi matematica applicate a un contesto d’esame.

        Testo

Fissato un parametro reale \(k\) , con \(k \cancel{=} 0\), si consideri la funzione \(f_{k}\) così definita:

Sia \( \Gamma_k \) il grafico di \(f_k\) in un piano cartesiano \(Oxy\).

Al variare del parametro \(k\), dimostrare che la funzione è sempre continua e derivabile in tutto il suo insieme di definizione e discutere la natura del punto stazionario \(P\) del quale si chiedono le coordinate.

Soluzione

Calcolo della derivata

ricordando la regola:

Applichiamo la derivazione nei due tratti:

semplifichiamo per \(x>0\):

Quindi:

Discussione sull’esistenza e derivabilità

La funzione derivata \(f_{k’}(x) \) esiste ovunque:

• Per \(x \leq 0\) la derivata è una funzione lineare, definita \(\forall x \in \mathbb{R} \).
• Per \(x>0\) il denominatore \( \sqrt{(x+1)^3}\) è ben definito per \(x>0 \; (x+1 > 1)\), quindi nessuna indeterminazione né radice di negativo.

La funzione è quindi derivabile ovunque, ed essendo derivabile è anche continua.

Analisi della continuità e derivabilità in \(x=0\).

La funzione \(f_k\) è definita in due rami distinti, uno per \(x \leq 0\) e uno per \(x >0\). Per verificare la continuità è la derivabilità in \(x=0\), dobbiamo considerare i limiti e le derivate laterali.

Definizione di continuità: Una funzione è continua in un punto se il limite della funzione per  che tende a quel punto coincide con il valore della funzione in quel punto.

Definizione di derivabilità: Una funzione è derivabile in un punto se le derivate laterali (sinistra e destra) in quel punto coincidono.

Verifica della derivabilità in \(x=0\).

Calcoliamo le derivate laterali:

Derivata sinistra: \( (x \rightarrow 0^-):\)

\( f_{k’}(0^-)=-2 \cdot 0=0\)

Derivata destra: \( ( x \rightarrow 0^+):\)

\(F_{k’} … \)

Per continuare a leggere l’articolo:

Risoluzione punto a primo esercizio esame di maturità anno 2024

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