Analisi modelli ingresso-uscita

Analisi modelli ingresso-uscita, questo articolo, analizza la variazione della pressione arteriosa (uscita) in risposta a un’iniezione di farmaco vasodilatatore (ingresso), usando un sistema lineare tempo-invariante. Si calcolano risposta impulsiva, risposta forzata e comportamento post-iniezione tramite la trasformata di Laplace.

Testo

Un modello bioingegneristico lineare tempo-invariante descrive il comportamento dinamico della risposta pressoria arteriosa uscita \( y(t)\) in seguito a un’iniezione di farmaco vasodilatatore (ingresso ), ed è rappresentato dalla seguente equazione differenziale:

\( \frac{d^2y(t)}{dt^2}+4 \frac{dy(t)}{dt}+3y(t)=u(t)\)

Dove:

• \(y(t) \) rappresenta la variazione della pressione arteriosa rispetto al livello basale.
• \(u(t)\) rappresenta il tasso di iniezione del farmaco.

Si suppongano condizioni iniziali nulle e che il sistema sia causalmente attivato.

Richieste:

Determinare analiticamente la risposta impulsiva \( \omega (t)\) del sistema.

Calcolare l’evoluzione forzata \(y_f(t)\) conseguente all’applicazione di una iniezione costante di farmaco definita come:

Applicando la trasformata inversa di Laplace, otteniamo esplicitamente:

Discutere il comportamento della pressione arteriosa dopo il termine dell’iniezione (per \(t \geq 3)\).

1        Soluzione

Partendo dall’equazione differenziale fornita, scriviamo l’equazione omogenea associata, imponendo \(u(t)=0\).

\( \frac{d^2y(t)}{dt^2}+4 \frac{dy(t)}{dt}+3y(t)=0\)

Applicando la trasformata di Laplace con condizioni iniziali nulle, otteniamo la funzione caratteristica (polinomio caratteristico):

\(s^2+4s+3=0\)

Risolviamo questa equazione per trovare le radici caratteristiche:

\((s+1)(s+3)=0 \rightarrow s_1 \; = -1, s_2=-3\)

Essendo il sistema lineare tempo-invariante e stabile (radici negative), la risposta impulsiva w(t)w(t) avrà la forma:

\( \omega (t)= Ae^{-t}+Be^{-3t}\)

Per trovare i coefficienti esatti, applichiamo la trasformata di Laplace all’impulso unitario \(u(t)=\delta(t)\):

\( \Omega(s)= \frac{1}{s^2+4s+3} \frac{1}{(s+1)(s+3)}\)

Usando il metodo della scomposizione in frazioni semplici, si ha:

\( \Omega(s)=\frac{1}{2} ( \frac{1}{s+1} – \frac{1}{s+3})\)

Applicando la trasformata inversa di Laplace, otteniamo esplicitamente:

\( \omega(t)= \frac{1}{2} (e^{-t} -e^{-3t}) \delta^{-1}(t) \)

L’evoluzione forzata \(y_f(t)\) si determina tramite convoluzione causale (integrale di Duhamel):

Per l’ingresso definito nel testo, si ha una risposta nulla prima di \(t=1\) perché l’ingresso è nullo:

per t < 1 chiaramente \(y_f(t)=0\).

quindi, \( 1 \leq \; t \; \leq 3\), l’ingresso è costante e pari a 5, pertanto:

Eseguendo con attenzione e passo-passo l’integrale otteniamo:

Per \( t \geq 3\) l’integrale si limita all’intervallo [1,3] in quanto l’ingresso ritorna nullo dopo il tempo 3:

Per \(t \geq 3\) il sistema evolve senza ulteriore stimolo esterno. L’equazione ottenuta è una combinazione lineare dei modi propri del sistema \( (e^{-t})\) e \((e^{-3t})\) con coefficienti dipendenti dallo stato raggiunto al tempo \(t=3\)Entrambe le radici caratteristiche sono reali e negative, il che implica che il sistema è stabile.

La pressione arteriosa, dunque, ritorna esponenzialmente al valore basale. Il tempo di assestamento è principalmente determinato dal modo più lento, ovvero il modo associato a \(e^{-t}\) che presenta la decadenza più lenta. Questo comportamento corrisponde realisticamente a una riduzione graduale dell’effetto farmacologico vasodilatatore e alla conseguente normalizzazione fisiologica della pressione arteriosa.

Codice python per graficare i risultati

1. import numpy as np
 2. import matplotlib.pyplot as plt
 3.  
 4. # Definizione risposta impulsiva
 5. omega = lambda t: 0.5 * (np.exp(-t) - np.exp(-3*t)) * (t >= 0)
 6.  
 7. # Risposta forzata per input costante nell'intervallo [1,3]
 8. def risposta_forzata(t):
 9.     if t < 1:
10.         return 0
11.     elif 1 <= t < 3:
12.         return (5/2)*((1 - np.exp(-(t - 1))) - (1/3)*(1 - np.exp(-3*(t - 1))))
13.     else:
14.         return (5/2)*((np.exp(-(t-3)) - np.exp(-(t-1))) - (1/3)*(np.exp(-3*(t-3)) - np.exp(-3*(t-1))))
15.  
16. # Tempo simulato
17. t = np.linspace(0, 10, 1000)
18.  
19. # Calcolo risposte
20. impulsiva = omega(t)
21. forzata = np.vectorize(risposta_forzata)(t)
22.  
23. # Grafici
24. plt.figure(figsize=(10, 6))
25. plt.subplot(2, 1, 1)
26. plt.plot(t, impulsiva, label='Risposta Impulsiva ω(t)')
27. plt.xlabel('Tempo [s]')
28. plt.ylabel('ω(t)')
29. plt.grid(True)
30. plt.legend()
31.  
32. plt.subplot(2, 1, 2)
33. plt.plot(t, forzata, color='orange', label='Risposta Forzata $y_f(t)$')
34. plt.axvline(1, color='green', linestyle='--', label='Inizio Iniezione')
35. plt.axvline(3, color='red', linestyle='--', label='Fine Iniezione')
36. plt.xlabel('Tempo [s]')
37. plt.ylabel('$y_f(t)$')
38. plt.grid(True)
39. plt.legend()
40.  
41. plt.tight_layout()
42. plt.show()
43.  

L’output atteso è il seguente:

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