Testo
Il seguente esercizio analizza un circuito RLC con due condensatori identici. La f.e.m. applicata ha un valore efficace di 12.0V e una frequenza di 60.0 Hz.
- Quando entrambi gli interruttori sono aperti, la corrente risulta sfasata di 30.9° rispetto alla f.e.m.
- Se l’interruttore S₁ è chiuso e S₂ è aperto, lo sfasamento tra f.e.m. e corrente diventa 15.0°.
- Infine, con entrambi gli interruttori S₁ e S₂ chiusi, la corrente ha un valore di 447mA.
Determinare i valori di:
- La resistenza R
- La capacità C
- L’induttanza L
Soluzione
Concetti base sui circuiti RLC in corrente alternata
Un circuito RLC in serie è un circuito elettrico in cui una resistenza \(R\), un’induttanza \(L\) e una capacità \(C\) sono collegati in serie e attraversati dalla stessa corrente. Nel regime sinusoidale, ogni elemento del circuito introduce una reattanza, che è una forma di resistenza al passaggio della corrente alternata.
1.1.1 Definizione di impedenza
L’impedenza totale del circuito è data dalla somma dei contributi della resistenza , della reattanza induttiva \(X_L\) e della reattanza capacitiva \(X_C\). L’impedenza complessa è scritta come:
\( Z= R + j (X_L – X_C) \)
dove:
- \(X_L\) è la reattanza induttiva, definita come \( X_L= \omega L, \; dove \; \omega= 2 \pi f \) è la pulsazione della corrente alternata.
- \(X_c\) è la reattanza capacitiva, definita come \(X_C= \frac{1}{ \omega C} \).
Il modulo dell’impedenza è dato da:
\( |Z|= \sqrt{R^2+ (X_L -X_C)^2}\)
1.1.1 1.2 Angolo di fase tra tensione e corrente
L’angolo di fase tra la tensione applicata e la corrente nel circuito è dato dalla relazione:
\(tan \theta = \frac{X_L-X_C}{R}\)
A seconda dei valori di \(X_L\) e \(X_C\):
- Se \(X_L > X_C\) il circuito è induttivo \( \theta > 0 \) e quindi la corrente è in ritardo rispetto alla tensione.
- Se \(X_L < X_C \) il circuito è capacitivo \( \theta < 0 \) e quindi la corrente è in anticipo rispetto alla tensione.
- Se \(X_L = X_C\) il circuito è risonanza \( \theta = 0 \) quindi corrente e tensione sono in fase.
L’angolo di fase, pertanto, fornisce un’indicazione preziosa sul comportamento del circuito in un regime di frequenza specifico. Conoscendo il valore della reattanza induttiva. e della reattanza capacitiva, possiamo determinare con precisione la natura del circuito e prevedere come la corrente si comporterà in relazione alla tensione applicata.
Ora vediamo come calcolare questi valori di reattanza induttiva e capacitiva partendo dai dati forniti.
1.1 Dati forniti e calcolo della pulsazione
Dai dati forniti, sappiamo che la frequenza della f.e.m è \(f=60.0 Hz\)
la pulsazione è data da:
\( \omega= 2 \pi f = 2 \pi \cdot 60 = 120 \pi \frac{rad}{s}\)
Questo valore è essenziale per calcolare le reattanze di induttanza e capacità.
1.1 Costruzione del sistema risolutivo
Per la costruzione del sistema risolutivo teniamo in considerazione che, per i vari casi proposti dal problema, ci saranno situazioni in cui alcuni elementi vengono cortocircuitati. Quando tutti gli elementi sono presenti nella conta della impedenza totale vale comunque la formula generale dell’impedenza di un circuito RLC, semplicemente con qualche accortezza.
Ricordiamo inoltre che per trovare incognite ci vogliono condizioni. Siccome in questo caso le incognite sono tre allo ci servono tre condizioni, che possiamo trovare grazie ai tre casi.
Caso 1 (entrambi gli interruttori aperti):
\(tan 30.9 ° = \frac{ \omega L – \frac{1}{2 \omega C}}{R}\)
Ricordiamo infatti che ci sono due capacità in serie in questo caso. Le capacità in serie sono uguali e perciò il motivo della comparsa del fattore 2.
Caso 2 (S₁ chiuso, S₂ aperto):
\( tan 15.0° = \frac{ \omega L – \frac{1}{\omega C }}{R}\)
In questo caso una delle due capacità viene fondamentalmente cortocircuitata; quindi, una delle due viene completamente trascurata.
Dal Caso 3 (entrambi interruttori chiusi), sappiamo che la corrente è:
\(I = 447 mA= 0,447 A\)
Quindi:
\(0.447 A= \frac{12}{ \sqrt{(\omega L – \frac{1}{ \omega C}})^2}\)
La resistenza e una delle due capacità sono assenti perché vengono cortocircuitate.
Risoluzione del sistema
Risolviamo adesso quindi il sistema:
Sottraendo la seconda alla prima si ha:
1.1 Risultati finali
| Parametro | Valore calcolato |
| Resistenza R | 100.2 \( \Omega\) |
| Capacità dei condensatori C | \(40.05 \mu F\) |
| Induttanza L | \(246.9 mH\). |
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