Introduzione all’applicazione dell’integrale di Duhamel

Testo

Considera un sistema lineare tempo-invariante (LTI) inizialmente a riposo, la cui risposta impulsiva è definita come:

Dove \(H(t)\) è la funzione di heaviside (funzione gradino unitario) data da:

Il segnale di ingresso applicato al sistema è definito come:

Utilizzando l’Integrale di Duhamel, calcola la risposta del sistema \( y(t)\) per ogni \(t \geq 0 \).

Soluzione

L’Integrale di Duhamel permette di calcolare la risposta di un sistema LTI ad un segnale di ingresso arbitrario sfruttando la risposta impulsiva del sistema. Si basa sul concetto di convoluzione tra l’ingresso e la risposta impulsiva.

La formula generale è:

Dove:

• \(y(t)\) è l’uscita del sistema al tempo \(t\),
• \(u (t)\) è il segnale di ingresso,
• \( \omega (t)\) è la risposta impulsiva del sistema.

oiché il sistema è causale, la risposta impulsiva è nulla per \(t < 0\) cioè \( \omega (t)=0\) per \(t<0\). Questo semplifica l’integrale, restringendo l’intervallo di integrazione ai soli istanti in cui il segnale d’ingresso è attivo.

Partendo dalla formula generale:

Il segnale di ingresso \( u(t)\) è attivo solo tra 0 e 1, quindi l’integrale si riduce a:

Sostituendo \(w ( t- \tau)= e^{-2(t- \tau)} H(t- \tau)\):

Risoluzione nei diversi intervalli di tempo

Caso 1: \(0 \leq t \leq 1\)

In questo intervallo, l’integrale diventa:

\( y(t)=e^{-2 t} \int_0^t e^{2 \tau} d \tau\)

Calcoliamo l’integrale:

\(=e^{-2 t}\left[\frac{e^{2 \tau}}{2}\right]_0^t=e^{-2 t}\left(\frac{e^{2 t}-1}{2}\right)=\frac{1-e^{-2 t}}{2}\)

Caso 2: \(t > 1)\)

In questo caso, l’ingresso è nullo per \( \tau > 1 \), quindi l’integrale diventa:

\( =e^{-2 t} \int_0^1 e^{2 \tau} d \tau=e^{-2 t}\left[\frac{e^{2 \tau}}{2}\right]_0^1=e^{-2 t}\left(\frac{e^2-1}{2}\right)=\frac{e^2-1}{2} e^{-2 t} \)

Risultato Finale

La risposta del sistema è quindi:

Interpretazione Fisica

Fase di crescita \( (0 \leq t \leq 1) \):

Il sistema riceve energia dall’ingresso costante e la risposta cresce esponenzialmente verso un valore massimo.

Fase di decadimento \( (t > 1)\):

Dopo che l’ingresso si annulla, il sistema “memorizza” l’energia accumulata e la rilascia lentamente, mostrando un decadimento esponenziale.

Rappresentazione Grafica

Procediamo ora con la generazione dei grafici che mostrano:

• Il segnale di ingresso \( u (t)\)
• La risposta impulsiva \( \omega (t)\)
• La risposta del sistema \(y(t)\) calcolata tramite l’integrale di Duhamel

Ecco i grafici completi che rappresentano il sistema e la sua risposta all’ingresso dato:

1 ) Segnale di ingresso \(u (t)\): è un’onda rettangolare di ampiezza 1 tra t=0 e t=1. Simula l’applicazione di un ingresso costante per un intervallo di tempo limitato.

2) Risposta impulsiva \( \omega (t)\): È un decadimento esponenziale, caratteristico di sistemi con dinamiche stabili. La funzione di Heaviside garantisce la causalità del sistema.

Risposta del sistema \(y (t)\):

Durante \(0 \leq t \leq 1\), la risposta cresce gradualmente poiché il sistema riceve energia.

Dopo \(t >1 \) il sistema entra in fase di decadimento esponenziale, seguendo la naturale dissipazione dell’energia accumulata.

Questa analisi mostra come l’Integrale di Duhamel permette di modellare l’effetto cumulativo di un ingresso generico su un sistema dinamico, utilizzando la risposta impulsiva come base.

Codice Python

Di seguito puoi trovare un codice Python per riprodurre in autonomia i segnali proposti in questo esercizio.

1. # Creazione dei grafici completi con teoria
 2.  
 3. # Definizione del tempo
 4. t = np.linspace(0, 5, 500)
 5.  
 6. # Funzione di Heaviside H(t)
 7. H = np.heaviside(t, 1)
 8.  
 9. # Ingresso u(t): segnale rettangolare tra 0 e 1
10. u = np.piecewise(t, [t < 0, (t >= 0) & (t <= 1), t > 1], [0, 1, 0])
11.  
12. # Risposta impulsiva w(t)
13. w = np.exp(-2*t) * H
14.  
15. # Risposta del sistema y(t)
16. y = np.piecewise(t, [t <= 1, t > 1],
17.                  [lambda t: (1 - np.exp(-2*t))/2,
18.                   lambda t: ((np.exp(2) - 1)/2) * np.exp(-2*t)])
19.  
20. # Creazione dei plot aggiornati
21. plt.figure(figsize=(12, 10))
22.  
23. # Ingresso u(t)
24. plt.subplot(3, 1, 1)
25. plt.plot(t, u, label=r'$u(t)$', color='blue')
26. plt.title('Segnale di Ingresso $u(t)$')
27. plt.xlabel('Tempo t')
28. plt.ylabel('$u(t)$')
29. plt.grid(True)
30. plt.legend()
31.  
32. # Risposta impulsiva w(t)
33. plt.subplot(3, 1, 2)
34. plt.plot(t, w, label=r'$w(t)$', color='green')
35. plt.title('Risposta Impulsiva $w(t)$')
36. plt.xlabel('Tempo t')
37. plt.ylabel('$w(t)$')
38. plt.grid(True)
39. plt.legend()
40.  
41. # Risposta del sistema y(t)
42. plt.subplot(3, 1, 3)
43. plt.plot(t, y, label=r'$y(t)$', color='red')
44. plt.title('Risposta del Sistema $y(t)$ tramite Integrale di Duhamel')
45. plt.xlabel('Tempo t')
46. plt.ylabel('$y(t)$')
47. plt.grid(True)
48. plt.legend()
49.  
50. plt.tight_layout()
51. plt.show()
52.  

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