Equilibrio Statico e Forze su un Piano Inclinato

Iniziamo a vedere il testo per risolvere l’esercizio sull’equilibrio statico e forze su un piano inclinato

Testo

Il mago Arkan, maestro della Scuola delle Arti Arcane, sta trasportando un pesante carico magico contenente antichi tomi di saggezza su una piattaforma inclinata incantata. Il carico ha una massa di 16 kg, e la piattaforma è inclinata di 32° rispetto al piano orizzontale. Tuttavia, il piano è reso scivoloso da un antico incantesimo di corrosione, che genera un coefficiente di attrito pari a 0,67. Per far scivolare il carico senza accelerarlo o rallentarlo, Arkan utilizza un incantesimo di “Forza Controllata” che applica una forza magica \(F_{Arkan}\) come un angolo pari a \( \alpha\) rispetto alla direzione parallela al piano. Arkan sa che il carico si muove a velocità costante, quindi la somma delle forze è nulla.

Domande:

1. Scrivi le equazioni di equilibrio per le forze che agiscono sul carico magico (lungo \(x\) , parallelo al piano, e \(y\) perpendicolare al piano).
2. Determina il valore della forza magica \(F_{Arkan}\) necessaria per mantenere il carico in movimento costante, utilizzando i dati forniti.

Dati forniti:

• Massa del carico: \(m=16kg\)
• Coefficiente di attrito: \( \mu= 0.67\)
• Angolo della piattaforma: \( \alpha=32°\)
• Accelerazione di gravità: 9.81 \(\frac{m}{s^2}\)

Soluzione

L’ipotesi è quella di velocità costante:

\(v= cost\)

L’ipotesi di partenza è che lo scatolone si muova con velocità costante, il che implica che non ci siano variazioni nella velocità nel tempo. Pertanto, l’accelerazione è nulla:

\(a=0\)

In base al secondo principio della dinamica di Newton, la somma delle forze agenti sul corpo deve essere pari a zero quando l’accelerazione è nulla:

\(somma \; delle \; forze \; sullo \; scatolone \; = 0\)

In questo caso in generale significa che:

In cui:

• \(\vec{F}_N\) : : la forza normale, esercitata dalla superficie, perpendicolare al piano.
• \(\vec{F}_p\) : : la forza normale, esercitata dalla superficie, perpendicolare al piano.
• \(\vec{F}_A\) : : la forza normale, esercitata dalla superficie, perpendicolare al piano.
• \(\vec{F}_{Arkan}\) : : la forza normale, esercitata dalla superficie, perpendicolare al piano.

Le forze vengono analizzate lungo due direzioni:

• Asse \(y\): perpendicolare al piano.
• Asse \(x\): parallelo al piano.

Scriviamo le equazioni di equilibrio per ciascuna direzione.

Direzione \(y\):

\(-F_{p} + F_{N}-F_{Arkan.y}=0\)

Direzione \(x\):

\(x:-F_{A}+F_{Arkan.x}=0\)

Da quest’ultima, possiamo ricavare che:

\(F_{Arkan.x}=F_A\)

La componente della forza parallela al piano è data da:

\(F_{\text {Arkan }, x}=\left|\vec{F}_{\text {Arkan }}\right| \cos \alpha \)

Quindi possiamo scrivere che:

\(F_{\text {Arkan }} cos \alpha =F_A\)

Inoltre ricordando che:

\(F_A = \mu F_n\)

Si ha:

\(F_{\text {Arkan }} cos \alpha = \mu F_N\)

Ma noi sapevamo che in direzione \(y\) vale:

\(-F_{p}+F_{N}- F_{Arkan.y}=0\)

Da cui:

\(\begin{gathered}
F_N=F_P+F_{\text {Akran,y }} \
F_N=F_P+\left|\vec{F}_{\text {Akran }}\right| \sin \alpha
\end{gathered} \)

Quindi sostituendo \(|\vec{F}_{\text {Akran }|} \; cos \alpha= \mu F_N \; \) si ottiene:

In definitiva:

\(\left|\vec{F}_{\text {Arkan }}\right|=\frac{\mu F_P}{\cos \alpha-\mu \sin \alpha}=\frac{\mu m g}{\cos \alpha-\mu \sin \alpha}=\frac{(0.67) \cdot 16 \cdot 9.81}{\cos 32^{\circ}-(0.67) \cdot \sin 32^{\circ}}=210 \mathrm{~N} \)

Equilibrio Statico e Forze su un Piano Inclinato

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