Relazione tra coefficiente angolare e angolo

Testo

Argomentare il concetto di coefficiente angolare e spiegare come è possibile utilizzarlo per calcolare l’angolo di un numero complesso espresso in coordinate polari.

Soluzione

Ricordiamo il concetto del coefficiente angolare:

\(m = \frac{ \Delta y}{ \Delta x}= \frac{y_2 -y_1}{x_2-x_1}\)

In cui:

• \( ( x_1 , y_1)\) sono le coordinate di un punto \(P_1\) appartenente alla retta;
• \( ( x_2, y_2)\) sono le coordinate di un punto \(P_2\) appartenente alla retta;

Il coefficiente angolare si presenta come un rapporto di differenze. Al numeratore c’è una differenza di ordinate mentre al denominatore c’è una differenza di ascisse.

Geometricamente rappresenta la pendenza della retta che passa per i due punti dati \(P1\) e \(P2\). Questo concetto può essere sfruttato quando si parla dei numeri complessi.

Quando definiamo un numero complesso esso ha sempre un valore di ordinata e un valore ascissa.

Se supponessimo di voler calcolare il coefficiente angolare della retta che rappresenta la direzione del vettore che rappresenta il numero complesso allora dovremmo considerare due punti:

• L’origine
• Le coordinate del vettore che rappresenta il numero complesso.

Perciò se un numero complesso è definibile attraverso le componenti:

\( \overrightarrow{z} = (a \; , b)\)

Allora il coefficiente angolare della retta di interesse, scelti i punti \((0,0)\) e \(P_z(a,b)\) sarebbe:

\(m = \frac{ y_z – y_0}{x_z-x_0}= \frac{b-0}{a-0} = \frac{b}{a}\)

Se, per un attimo, ipotizzassimo che \( || \overrightarrow{z} || = 1 \) il allora il coefficiente angolare può, equivalentemente essere espresso come:

\( m= \frac{sin \; \theta}{ cos \; \theta}\)

Quindi:

\(m=tan \; \theta\)

da cui:

\( \theta \; arctan \; m \; \rightarrow \; m = arctan (\frac{b}{a}) \)

Pertanto, con questa formulazione, è possibile determinare l’angolo \( \theta \) conoscendo semplicemente il coeff. angolare \(m\) della retta passante per l’origine e per il punto\(P\) definito dal numero complesso \(z\). Questo metodo di rappresentazione dei numeri complessi e delle rette associate risulta particolarmente utile in diverse applicazioni matematiche e fisiche, in cui la comprensione delle relazioni angolari e delle loro tangenti è fondamentale. Questo approccio permette non solo di visualizzare meglio le interazioni tra i numeri complessi, ma anche di facilitare i calcoli relativi alle trasformazioni e alle rotazioni nel piano complesso.

Lezioni private con Esercizi Svolti

Ti è stato utile questo articolo sulla relazione tra coefficiente angolare e angolo?

Oltre a questo articolo, non perdere l’occasione di migliorare le tue conoscenze e ottenere risultati eccellenti. Contattaci ora per verificare la disponibilità e prenota la tua lezione privata su Esercizi Svolti per eccellere nelle materie scientifiche, da qualsiasi luogo con una connessione internet! LEZIONI PRIVATE \( \rightarrow \) CLICCA QUI

Oltre all’esercizio sul Relazione tra coefficiente angolare e angolo ti consigliamo..

Di visitare il nostro negozio, dove puoi acquistare altri file in formato word per integrare i tuoi appunti. \( \rightarrow \) CLICCA QUI