Il prodotto di matrici è una delle operazioni fondamentali in algebra lineare, ma spesso sorprende gli studenti per la sua non commutatività, ovvero, in generale \(AB \cancel{=}BA\) Per capire meglio questo concetto, proponiamo un esercizio guidato con soluzione dettagliata, utilizzando matrici 2×2 e 3×3.
1 Esercizio
date le seguenti matrici:
- Calcolare \(AB\) e \(BA\), e verificare che \(AB \cancel{=} BA\).
- Calcolare \(CD\) e \(DC\), e verificare che \(CD \cancel{=}DC\).
Soluzione
Calcolo dei prodotti AB e BA
Calcolo di AB
Moltiplichiamo le matrici A e B:
Calcolo di BA
Ora moltiplichiamo \(B\) e \(A\):
Conclusione
confrontando i risultati:
Conclusione \( AB \cancel{=}BA\).
In tal modo si dimostra che l’ordine di moltiplicazione influisce sul risultato finale. Dopo aver confrontato i prodotti \(AB\) e \(BA\), risulta chiaro che non sono uguali, confermando che la moltiplicazione delle matrici non è commutativa.
Calcolo dei prodotti \(CD\) e \(DC\)
Calcolo di \(CD\)
Passiamo ora alle matrici \(C\) e \(D\):
Calcolo di \(DC\)
Ora calcoliamo \(DC\):
Confrontando i risultati:
Conclusione \(CD \cancel{=}DC\).
Pertanto, osserviamo un chiaro esempio della proprietà non commutativa della moltiplicazione delle matrici. È evidente che \(CD\) produce un insieme di risultati completamente diverso rispetto a quelli di \(DC\) anche se si utilizzano le stesse matrici per il calcolo. Questo fenomeno è cruciale per comprendere le operazioni matriciali e ha implicazioni significative in molte applicazioni pratiche.
Considerazioni Finali
Questo esercizio evidenzia chiaramente come il prodotto di matrici non sia commutativo. Cambiare l’ordine delle matrici moltiplicate porta, in generale, a risultati differenti.
Inoltre, questo risultato non solo conferma la natura non commutativa della moltiplicazione delle matrici, ma pone anche enfasi sulla necessità di prestare attenzione all’ordine in cui vengono effettuate le operazioni durante la risoluzione di problemi complessi. Gli studenti di algebra lineare devono essere particolarmente cauti nel seguire l’ordine corretto delle moltiplicazioni, per evitare errori che potrebbero compromettere l’accuratezza dei calcoli e delle conclusioni. In effetti, questo principio trova applicazione in numerose discipline, dalla fisica alla computer grafica, dove l’ordine delle operazioni può influire drasticamente sui risultati finali.
Lezioni private con Esercizi Svolti
Ti è stato utile questo articolo?
Oltre a questo articolo, non perdere l’occasione di migliorare le tue conoscenze e ottenere risultati eccellenti. Contattaci ora per verificare la disponibilità e prenota la tua lezione privata su Esercizi Svolti per eccellere nelle materie scientifiche, da qualsiasi luogo con una connessione internet! LEZIONI PRIVATE \( \rightarrow \) CLICCA QUI
Oltre all’esercizio sul prodotto di una matrice con l’esercizio guidato e la soluzione ti consigliamo..
Di visitare il nostro negozio, dove puoi acquistare altri file in formato word per integrare i tuoi appunti. \( \rightarrow \) CLICCA QUI
Devi effettuare l'accesso per postare un commento.