Tempo di Inseguimento tra un Aereo in Rullaggio e un Veicolo di Supporto

Testo

Un aereo in fase di rullaggio si muove a una velocità costante di 85 km/h sulla pista. Nel momento in cui passa accanto a un veicolo di supporto fermo, il veicolo parte con un’accelerazione di 1,8 m/s² fino a raggiungere una velocità massima di 110 km/h, che poi mantiene costante. Quanto tempo impiega il veicolo di supporto a raggiungere l’aereo?

Soluzione

Il corpo A (aereo) ha come legge oraria:

\(s_{A, f}=s_{A, i}+v_{A, i} t_A\)

Il corpo B (veicolo) ha come legge oraria (nel primo tratto):

\(s_{B1, f}=s_{B1, i}+v_{B1, t} + \frac{1}{2} a_{B1} \; t^2_{B1}\)

Mentre nel secondo tratto:

\(s_{B2, f}=s_{B2, i}+v_{B2, i} t_{B2}\)

Possiamo ipotizzare, poiché dallo stesso punto:

\( S_{A, i} = S_{B1. i}= 0m\)

\( S_{B2,i} \; = \; S_{B1, f}\)

Quindi le leggi orarie possono essere riscritte:

Ci serve scoprire dopo quanto tempo il veicolo B, nel primo tratto, raggiunge la velocità di \(30,55 \frac{m}{s}\). Per poterlo fare utilizziamo la definizione dell’accelerazione.

A questo punto possiamo scoprire la posizione finale del veicolo B dopo aver effettuato il primo tratto:

\( s_{B1, f}= 0.9 \frac{m}{s^2} (16.97s)^2=259.18m \)

Ora ci interessa sapere dopo lo stesso tempo dove si trova il veicolo A. Dobbiamo imporre che \(t_A = t_{B1,f}\). Cioè, ci interessa sapere dove si trova il veicolo A dopo che il veicolo B ha finito il suo primo tratto in accelerazione:

\(s_{A, f}= 23.6 \frac{m}{s}(16,97s) = 400.49 m\)

Quindi il moto del veicolo B nel secondo tratto diventa:

\(S_{B2, f}= 259.18m + 30.55 \frac{m}{s} \Delta t\)

In cui \( \Delta t \) deriva dall’assunzione che \(t_{B2}=t_{B1, f} + \Delta t\)

e quella del veicolo A diventa:

\(S_{A, f}= 400.49m + 23,6 \frac{m}{s} \Delta t\)

in cui \( \Delta t\) deriva dall’assunzione che \(t_A= t_{B1, f}+ \Delta t\)

per scoprire il delta temporale bisogna eguagliare:

\(259.18m+30.55 \frac{m}{s} \Delta t= 400.49m+23.6 \frac{m}{s} \Delta t\)

Quindi:

\( \Delta t= \frac{400.49m- 259.18m}{30.55 \frac{m}{s}- 23.6 \frac{m}{s}}= 20.33s\)

E il tempo totale trascorso sarà:

\(t_{tot}=16.97s +20.33s \approx 37s\)

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