Determinazione dell’Equazione di una Retta Passante per un Punto e il Punto Medio di un Segmento

Andiamo a vedere la determinazione dell’equazione di una retta passante per un punto e il punto medio di un segmento, passo dopo passo.

Testo

Dati i punti \(A(1,-2)\) , \(B(4,1)\) e \(C(2,3)\) sul piano cartesiano si richiede di determinare l’equazione della retta che passa per il punto \(B\) e che per il punto medio del segmento \(AC\) per procedere, è necessario calcolare le coordinate del punto medio del segmento \(AC\) applicando la formula appropriata. Successivamente, si deve trovare l’equazione della retta che attraversa sia il punto \(B\) sia il punto medio calcolato.

Infine, si raccomanda di rappresentare graficamente la retta e il segmento \(AC\)

nel piano cartesiano per visualizzare la configurazione geometrica e verificare la correttezza dei calcoli. È consigliato documentare ogni passaggio del processo, compresi i calcoli relativi al punto medio, al coefficiente angolare e all’equazione della retta, al fine di garantire la trasparenza e la precisione della soluzione.

Soluzione

Per determinare l’equazione della retta, è necessario che questa passi per due punti specifici:

• Il primo punto è \(B(4,1)\)
• Il secondo punto è quello che si trova a metà strada tra A e C, che chiameremo \( (M_{AC} )\)

Per calcolare l’equazione della retta, si utilizza la formula generale della retta passante per due punti:

\(\frac{y-y_B}{x-x_B}=\frac{y_{M_{A C}}-y_B}{x_{M_{A C}}-x_B}\)

A questo punto, l’unica variabile sconosciuta è rappresentata dalle coordinate: \(y_{M_{AC}}\) e \(x_{M_{AC}}\) che sono le coordinate del punto \(M_{AC}\).

Si procede quindi con il calcolo del punto medio applicando la formula:

Ora che le coordinate del punto medio \(M_{AC}\) sono state determinate, si può inserire questo punto nell’equazione della retta:

\( r: \frac{y-y_B}{x-x_B}=\frac{\frac{1}{2}-y_B}{\frac{3}{2}-x_B} \)

E allora:

\(r: \frac{y-1}{x-3}=\frac{\frac{1}{2}-1}{\frac{3}{2}-4}\)

Procedendo con i calcoli per semplificare l’equazione, si ottiene:

\(r: \frac{y-1}{x-4}=\frac{-\frac{1}{2}}{-\frac{5}{2}}\)

Semplificando ulteriormente la frazione e moltiplicando entrambi i membri per \((x-4)\) per eliminare il denominatore, si ha:

\(y-1=\frac{1}{5}(x-4)\)

Infine, sviluppando il membro di destra e isolando \(y\), si ottiene l’equazione finale della retta:

\(y=\frac{1}{5}x+\frac{1}{5}\)

Questa equazione rappresenta la retta che passa per il punto \(B\) e il punto medio \(M_{AC}\) del segmento \(AC\).

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