Sai calcolare l’area del triangolo?

Calcola l’area del triangolo a partire da tre punti nel piano cartesiano

Testo

Siano dati i tre punti A(3,2), B(7,-5) e C(1,1). Determina l’area del triangolo descritto da questi tre punti.

Soluzione

Il perimetro \(P_{tr}\) è dato da:

Ricordiamo che la formula della distanza tra due punti A e B è data da:

\( \overline{AB}= \sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}\)

E sfruttando la formula della distanza tra due punti si ottiene il lato \( \overline{AB}\) :

\(\overline{AB}=\sqrt{(7-3)^2+(-5-2)^2}=\sqrt{25}=5 \)

Poi il lato \( \overline {BC} \):

\(\overline{BC}=\sqrt{(1-7)^2+(1+5)^2}=\sqrt{72}=6\sqrt{2}\)

E infine per il lato \( \overline {AC} \):

\(\overline{AC}=\sqrt{(6-1)^2+(2-1)^2}=\sqrt{26}\)

Per trovare l’area del triangolo si consideri la retta passante per \(\overline{AB}\):

\(r_{AB}:\frac{y-2}{x-3}=\frac{-5-2}{7-3}\)

\(y-2= – \frac{7}{4} (x-3) \)

\(y=- \frac{7}{4}x+ \frac{29}{4}\)

\(r_{AB}:7x+4y-29=0\)

L’altezza \(\overline{CH}\) è data dalla distanza della retta dal punto \(C\) è data da:

\(\overline{CH}=\frac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}=\)

\(\overline{CH}=\frac{|(7)(1)+(4)(1)+(-29)|}{\sqrt{(7)^2+(4)^2}}=\)

\(=\frac{36}{\sqrt{50}}=\frac{36\sqrt{2}}{10}=\frac{18}{5}\sqrt{2}\)

L’area è data dunque da:

\(A_{tr}=\frac{\overline{AB} \cdot \overline{CH}}{2}=\frac{5 \cdot \frac{18}{ \sqrt{65}}}{2}= \frac{45}{\sqrt{65}}\)

Questo tipo di esercizio sul calcolo dell’area del triangolo a partire da tre punti, che abbiamo appena risolto insieme, fornisce una solida comprensione dei fondamenti geometrici, consentendo di comprendere meglio le relazioni tra i punti nel piano cartesiano e la geometria delle figure che possono essere formate da essi. Inoltre, ha applicazioni pratiche significative in campi come la fisica, l’ingegneria, oppure la grafica computerizzata, dove è spesso potrebbe essere necessario calcolare superfici o volumi e progettare strutture.

Risolvere questo tipo di problemi richiede lo sviluppo di competenze analitiche, come la capacità di visualizzare e manipolare figure geometriche nel piano cartesiano e di applicare concetti matematici in contesti reali.

Infine, saper padroneggiare e risolvere questo tipo di esercizio prepara gli studenti per argomenti più avanzati in matematica e discipline correlate, come l’algebra lineare, la geometria analitica e il calcolo, offrendo una base solida per ulteriori studi e applicazioni pratiche.

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