Esempio di come la spinta di Archimede fa volare il pallone pieno di elio

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1        Testo

I palloni stratosferici sono enormi involucri riempiti con gas molto leggeri, come l’elio, utilizzati per trasportare strumenti scientifici ad altissime quote, fino a regioni dell’atmosfera dove gli aerei non arrivano. Supponiamo di avere uno di questi palloni riempito di elio, che si trova immerso nell’aria. L’elio ha una densità di \(0,179 \frac{kg}{m^3}\) mentre la densità dell’aria circostante è pari a \(1,2 \frac{kg}{m^3}\).

Il pallone, una volta lasciato libero di muoversi, riceve una spinta verso l’alto pari a \(7,2 \cdot 10^5N\).

Si vuole determinare quale debba essere il suo volume totale affinché si verifichi questa spinta ascensionale. Si può trascurare la massa dell’involucro rispetto alla massa dell’elio contenuto

1        Prerequisiti

Per affrontare questo problema è utile ricordare che quando un corpo è immerso in un fluido, viene spinto verso l’alto da una forza detta spinta di Archimede, che dipende dal peso del fluido spostato. Nel nostro caso, il pallone “spinge via” una certa quantità di aria, e proprio questo determina una spinta verso l’alto. Tuttavia, bisogna anche tener conto del peso dell’elio contenuto nel pallone, che agisce invece verso il basso. La spinta netta sarà quindi il risultato di questo bilancio tra spinta di Archimede e peso dell’elio.

2        Consigli di problem solving

Un buon modo per impostare il problema è visualizzare il pallone come un corpo che “sostituisce” una certa quantità d’aria. L’aria che verrebbe a trovarsi al posto del pallone avrebbe un certo peso, ed è questo il peso che genera la spinta verso l’alto. L’elio però non è privo di massa: anche lui ha un suo peso, e va sottratto. La spinta netta, cioè quella che effettivamente permette al pallone di salire, è proprio la differenza tra queste due grandezze.

Un errore molto comune consiste nel confondere direttamente la spinta netta con la forza di Archimede. La spinta di Archimede è più grande della spinta netta indicata nel testo, perché dalla spinta di Archimede si deve sottrarre il peso dell’elio. Un altro errore frequente è dimenticare che la densità dell’elio è nota: invece di trattare la massa dell’elio come incognita, conviene esprimerla subito come densità moltiplicata per volume. Questo semplifica molto la manipolazione dell’equazione finale.

Se si mantiene chiara questa idea di bilancio tra pesi e spinte, la formula che porta al volume del pallone arriva con naturalezza, e il calcolo diventa lineare e senza difficoltà.

3 Soluzione

Per risolvere il problema si deve tenere in considerazione che la spinta netta verso l’alto è il risultato di una spinta che batte anche la forza peso del pallone. Da questa considerazione si può affermare che la spinta ascensionale netta non è uguale alla forza che si utilizzerebbe nella formula di Archimede. Infatti la forza da utilizzare come spinta di Archimede è più grande della forza ascensionale dichiarata dal problema.

In cui:

• \( F_{A r c} \) è la forza di Archimede;
• \( F_{a s c} \) è la forza ascensionale dichiarata dal problema;
• \( m_{e l} \) è la massa del pallone pieno d’elio;
• \( g \) è l’accelerazione gravitazionale a cui viene sottoposto il pallone pieno d’elio.

D’altra parte deve essere vero che, per il principio di Archimede:

\( F_{A r c}=\rho_{a} V_{e l} g \)

In cui:

• \( V_{e l}\) è il volume del pallone d’elio richiesto dal problema;
• \( \rho_{a} \) è la densità dell’aria ed è un dato del problema.

Quindi:

\( F_{a s c}+m_{e l} g=\rho_{a} V_{e l} g \)

Ma siccome la densità del pallone pieno d’elio è:

\( \rho_{e l}=\frac{m_{e l}}{V_{e l}} \)

Allora si può scrivere anche che:

\( F_{a s c}+\rho_{e l} V_{e l} g=\rho_{a} V_{e l} g \)

Ovvero:

\( V_{e l}=\frac{F_{a s c}}{g\left(\rho_{a}-\rho_{e l}\right)} \approx 6.54 \cdot 10^{4} m^{3} \)

Quindi il volume del pallone pieno d’elio è pari a circa \( 6.54 \cdot 10^{4} m^{3} \).

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Esempio di come la spinta di Archimede fa volare il pallone pieno di elio

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