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Come risolvere le disequazioni fratte di primo grado

Testo

Una generica disequazione di un rapporto in cui numeratore e denominatore dipendono da \(x\) può essere scritta:

\(\frac{N(x)}{D(x)}<0\) oppure \(\frac{N(x)}{D(x)}>0\)

In cui:

  • \(N(x)\) è il numeratore ed è scritto così perché dipende da x
  •  \(D(x)\) è il denominatore ed è scritto così perché dipende da x

Ogni volta che si ha a che fare con una disuguaglianza o un’equazione si è di fronte a una domanda specifica, che ha delle risposte specifiche, come in tabella sotto.

AspettoDomandaRisposta
\(\frac{N(x)}{D(x)}<0\)Quando è che il rapporto è minore di zero?Numeratore e denominatore hanno segno discorde
\(\frac{N(x)}{D(x)}>0\)Quando è che il rapporto è maggiore di zero?Numeratore e denominatore hanno segno concorde
\(\frac{N(x)}{D(x)}=0\)Quando è che il rapporto è uguale a zero?Il numeratore deve essere uguale a zero

Si faccia ora un esempio concreto. Supponiamo che:

\(N(x)=-x+5 \) ; \(D(x)=4x+7\)

E che venga richiesto quando è che il rapporto è maggiore di zero.

\(\frac{N(x)}{D(x)}>0\) \( \rightarrow \)

\( \rightarrow \frac{-x+5}{4x-7}>0\)

Non dimentichiamo (vedi tabella) l’obiettivo, che è quello di scoprire dove numeratore e denominatore hanno segno concorde. Ci potremmo chiedere per esempio:

\(\frac{-x+5}{4x-7}>0\)

Se la interpretassimo come se fosse una funzione la richiesta sarebbe:

\(y=\frac{-x+5}{4x-7} \rightarrow y>0\)

Che si tradurrebbe nella richiesta “per quali valori di \(x\) l’iperbole è positiva?”.

Tracciando su Geogebra l’iperbole si ottiene che i valori di \(x\) per cui la funzione è positiva sono quelle indicate in violetto nella figura seguente.

Tali regioni possono essere confermate anche algebricamente. Infatti, se si prosegue con lo studio del rapporto:

\(\frac{-x+5}{4x-7}>0\)

Si possono ottenere i valori di \(x\) attesi.

Per scoprire dove numeratore e denominatore hanno segno concorde poniamo di volerli studiare separatamente:

\(N(X)>0\)

\(D(X)>0\)

Quindi:

\(-x+5>0 \rightarrow x < 5\)

\(4x-7>0 \rightarrow x> \frac{7}{4}\)

Nella figura seguente vengono mostrate le regioni di positività e negatività di tutti gli attori coinvolti (numeratore, denominatore e rapporto), evidenziando come il rapporto sia positivo esattamente per i valori di \(x\) attesi come da grafico di Geogebra.

Quindi i valori di \(x\) che rendono il rapporto positivo sono:

\(\frac{7}{4}<x<5\)