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Come risolvere l’esercizio numero 86 pagina 1251 libro (Matematica blu 2.0 con Tutor)

Testo

Determina l’ampiezza dell’angolo tra i vettori \( \overrightarrow{a}(4;1;2 \sqrt{2}\) e \(\overrightarrow{b}(-3;5; \sqrt{2})\).

Soluzione

Per determinare l’ampiezza di angolo tra questi due vettori si procede come segue:

1. calcolo del prodotto scalare tra i due vettori

2. calcolo del modulo dei due vettori

3. calcolo dell’angolo tra i due vettori

Cominciamo dal primo punto.

Per calcolare il prodotto scalare tra i due vettori basta procedere come segue:

\(\overrightarrow{a}*\overrightarrow{b}= (4)(-3)+(1)(5)+(2 \sqrt{2})( \sqrt{2})=-3\)

Per il secondo punto si procede come segue. Il modulo del vettore \(\overrightarrow{a}\) si calcola:

\(|| \overrightarrow{a}||=\sqrt{(4)^2+(1)^2+(2 \sqrt{2})^2}=\)

\(=\sqrt{16+1+8}=\sqrt{25}=5\)

il modulo del vettore \(\overrightarrow{b} si calcola:

\(|| \overrightarrow{b}||=\sqrt{(-3)^2+(5)^2+(\sqrt{2})^2}=\)

\(=\sqrt{9+25+2}=\sqrt{36}=6\)

Per il terzo punto invece si considera che:

\(\overrightarrow{a}*\overrightarrow{b}=|| \overrightarrow{a}||*|| \overrightarrow{b}|| cos \alpha\)

Quindi:

\( \alpha=arccos(\frac{\overrightarrow{a}*\overrightarrow{b}}{|| \overrightarrow{a}||*|| \overrightarrow{b}||})=\)

\(=arccos (\frac{(-3)}{(5)(6)})=arccos(-\frac{3}{30})=arccos(-\frac{1}{10})\)

E allora:

\( \alpha= arccos(-\frac{1}{10}) \approx 95.74°\)

Possiamo dunque concludere che:

\( \alpha \approx 96°\)