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Come risolvere esercizio numero 26 pagina 215 libro (Matematica.Rosso 3 edizione)

Testo

Considera il triangolo di vertici \(A(5.4)\), \(B(-1,6)\) e \(C(7,-2)\).

Dimostra che è isoscele sulla base BC.

Verifica che l’equazione dell’altezza e della mediana relative a BC coincidono.

Soluzione

Punto a

Per poter risolvere il punto a è necessario dimostrare che la lunghezza \(AC\) è uguale alla lunghezza \(AB\).

Deve quindi essere:

\(AC=AB\)

\(\sqrt{(x_c-x_a)^2+(y_c-y_a)^2}=\sqrt{(x_b-x_a)^2+(y_b-y_a)^2}\)

\(\sqrt{(7-5)^2+((-2)-4)^2}=\sqrt{((-1)-5)^2+(6-4)^2}\)

\(\sqrt{4+36}=\sqrt{36+4}\)

\(\sqrt{40}=\sqrt{40}\)

Poiché risulta verificato che la lunghezza \(AC\) è uguale alla lunghezza \(AB\) il triangolo è allora isoscele.

Punto b

Per il calcolo dell’equazione dell’altezza si deve tenere in considerazione che essa è data dalla retta perpendicolare alla retta che passa per \(BC\) e che interseca nel punto \(A\).

La retta che passa per \(BC\) è data dalla seguente formula:

\(\frac{y-y_c}{y_b-y_c}=\frac{x-x_c}{x_b-x_c}\)

\(\frac{y-(-2)}{6-(-2)}=\frac{x-7}{(-1)-7}\)

\(y+2=-x+7\)

\(y=-x+5\)

La perpendicolare passante per il punto 𝐴 è data dalla formula:

\(y-y=m(x-x)\)

In cui \(m\) è il coefficiente angolare perpendicolare alla retta passante per \(BC\), cioè uguale a 1.

Quindi:

\(y-4=x-5\)

\(y=x-1\)

Se si vuole calcolare l’equazione della mediana sono necessarie le coordinate del punto medio del lato \(BC\), come di seguito:

\(x_M=\frac{x_b+x_c}{2},y_M=\frac{y_b+y_c}{2}\)

\((x_M=\frac{(-1)+7}{2},y_M=\frac{6+(-2)}{2}\)

\(x_M=3\) ; \(y_M=2\)

L’equazione della mediana è quindi data dalla seguente formula:

\(\frac{y-y_M}{y_A-Y_M}=\frac{x-x_M}{x_A-x_M}\)

Infatti il punto \(A\) è il vertice opposto al lato \(BC\).

Quindi:

\(\frac{y-2}{4-2}=\frac{x-3}{5-3}\)

\(y=x-1\)

In definitiva le due equazioni risultano essere identiche:.