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Come risolvere l’esercizio numero 55 pagina 588 (Le traiettorie della Fisica.azzurro)

Testo

Nel vuoto all’interno di un condensatore avente capacità \(C=1,0pF\) con armature quadrate di lato \(l=10cm\), fra le quali si ha una differenza di potenziale \( \Delta V= 10V\), viene inserita una carica \(q=2,0*10^{-8}C\) e massa \(m=3,0*10^{-10}kg\) posta inizialmente in quiete.

Determina l’accelerazione con cui si muove la carica.

Prerequisiti

Per risolvere questo esercizio dovrai conoscere:

  1. Il secondo principio della dinamica;
  2. La relazione tra campo elettrico e forza agente su una carica di prova q;
  3. Come ricavare le formule inverse;
  4. Il concetto di densità di carica superficiale;
  5. La relazione tra capacità, carica e tensione al condensatore.

Soluzione

Per scoprire l’accelerazione a cui ha sottoposto alla carica bisogna scoprire la forza a cui è sottoposta in modo tale da utilizzare la seguente:

\(|| \overrightarrow{F}||=m ||\overrightarrow{a}|| \rightarrow ||\overrightarrow{a}||=\frac{|| \overrightarrow{F}||}{m}\)

in cui:

\( ||\overrightarrow{a}|| \) è il valore di un modulo dell’accelerazione a cui è sottoposta la carica;

\(|| \overrightarrow{F}||\) è il valore di un modulo della forza a cui è sottoposta la carica;

\(m\) è la massa della carica;

La forza a cui è sottoposta la carica \(q\) dipende dal campo elettrico che viene generato all’interno del condensatore dal condensatore stesso.

Infatti è vero che:

\(|| \overrightarrow{E}||=\frac{|| \overrightarrow{F}||}{q} \rightarrow || \overrightarrow{F}||= q || \overrightarrow{E}||\)

in cui:

\(|| \overrightarrow{E}||\) è il valore di un modulo di campo elettrico a cui è sottoposta la carica;

\(q\) è la carica.

Perciò ora è vero che:

\(|| \overrightarrow{a}||=\frac{q|| \overrightarrow{E}||}{m}\)

Di cui il valore non noto è solo \(|| \overrightarrow{E}||\).

Risulta noto che il campo elettrico generato all’interno di un condensatore è pari a:

\(|| \overrightarrow{E}||= \frac{ \sigma}{ \varepsilon}\)

in cui:

\(|| \overrightarrow{E}||\) è il valore di un modulo di campo elettrico a cui è sottoposta la carica

\( \sigma\) è la densità di carica sull’unità di superficie;

\( \varepsilon\) è la costante dielettrica, nel nostro caso pari a quella del vuoto \( \varepsilon_0\)

Per cui:

\(|| \overrightarrow{a}||=\frac{q \sigma}{m \varepsilon_0}\)

Di cui il valore non noto è solo \( \sigma\).

è vero però che:

\( \sigma=\frac{Q}{A}\)

In cui:

\(Q\) è la carica sulle armature del condensatore;

\(A\) è la superficie delle armature del condensatore e cioè pari all’area del quadrato con lato \(l=10cm\)

Perciò:

\( \sigma=\frac{Q}{l^2}\)

Ovvero:

\(|| \overrightarrow{a}|| =\frac{qQ}{m \varepsilon_0 l^2}\)

Di cui l’unico termine non noto è \(Q\).

Vale però la seguente:

\(C=\frac{Q}{ \Delta V} \rightarrow Q=C \Delta V\)

in cui:

\(C\) è la capacità del condensatore;

\( \Delta V\) è il potenziale ai capi del condensatore.

Quindi:

\(|| \overrightarrow{a}||=\frac{qC \Delta V}{m \varepsilon_0 l^2}\)

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